初等的な微分方程式の解法３ １階線形微分方程式 [微分積分]
初等的な微分方程式の解法３ １階線形微分方程式
１階線形微分方程式の一般形は
で与えられる。
定数変化法を用いて、（１）の一般解を求めることにする。
まず、（１）のQ(x)=0とした同次方程式
の一般解を求めると、
が得られる。
つぎに、この任意定数cを関数u(x)で置き換え、（１）を満たすようにu(x)を定める。
そこで、
を（１）に代入すると、
したがって、（１）の一般解は
である。
指数関数
をexp(x)で表すと、（２）式は
（注）
（１）の両辺に
を掛けると
左辺は、
となるので、
両辺をxで積分すると、
と、（１）の微分方程式の一般解を求めることもできる。
問題１ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１） P(x)=2xだから
したがって、微分方程式の両辺に
を掛けると、
両辺をxで積分すると、
（２） 
だから
よって、
両辺に
を掛けると、
両辺をxで積分すると、
（解答終）
問題２ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１）
（２） P(x)=2xだから
微分方程式
の両辺にをかける。
（解答終）
定理 一階線形微分方程式
の一つの特殊解がy₁であるとき、一般解は
【証明】
一般解yと特殊解y₁は微分方程式（１）の解なので
①と②の両辺の差をとると、
φ=y–y₁とおくと、
この微分方程式の一般解は
よって、
（証明終）
この定理は、
（１）のQ(x)=0とおいた同次方程式
の一般解を求め、それに何らかの手段で求めた（１）の特殊解を加えたものがであると言っている。
問題３ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１）
の一般解は
y=ax+bが特殊解であるとすると、
よって、a=1、b=−1。
したがって、
（２）
の一般解は
である。
が特殊解であるとすると、
係数を比較すると、A=−1、a=−1/2、b=−1/4。
よって、
（３） y'+ay=0の一般解は
である。
がy'+ay=sinxの特殊解であるとすると、
よって、
これをA、Bについて解くと
よって、
（解答終）
【別解】
（１） 微分方程式の両辺にを掛けると、
両辺をxで積分すると、
（２） 微分方程式の両辺に
を掛けると、
両辺をxで積分すると、
（３） 微分方程式の両辺に
を掛けると、
両辺を積分すると、
（別解終）
