定積分の近似と誤差の限界

定積分の近似と誤差の限界

 

f(x)を[a,b]でC¹級、すなわち、f'(x)が[a,b]で連続であるとする。

を

　　

と近似したときの誤差について考える。

部分積分すると

　　

仮定より、[a,b]において(b−x)は非負連続なので、積分の（第一）平均値の定理より

　　

を満たすξが存在する。

したがって、

　　

これが、積分の値を（１）式の右辺で近似したときの誤差を与える式になる。

次に、を

　　

と近似した時の誤差について考える。

部分積分すると

　　

積分の平均値の定理より、

　　

したがって、

　　

 

f(x)=x、a=0、b=1の場合について計算してみると、

　　

また、f'(x)=1なので、

　　

となり、（２）、（４）を満たしていることがわかる。

 

定理

f(x)が[a,b]でC¹級であるとき、

　　

を満たすξが存在する。

 

また、

　　

とおき、（２）、（４）の剰余項が消えるようにLとRの平均を取ると、

　　

と台形公式が得られる。

 

区間[a,b]をn等分し、

　　

となるように点を配する。

すなわち、

　　

そして、[a,b]の小区間を作り、

　　

とすると、定理より

　　

が成立する。

また、

　　

という関係があるので、

　　

の最大値をMとすると、

　　

したがって、

　　

と、を近似した誤差の限界はになる。

だから、分割数を１０倍にすれば誤差は約1/10に、分割数を１００倍にすれば約1/100になる、

 

台形公式の場合、

　　

とおくと、

　　

なので、

同様の議論をすると、

　　

とを近似したときの誤差の限界は

　　

ここで、Mはの最大値である。

つまり、台形公式（６）の場合、分割数を１０倍にすると誤差は約1/100、分割数を１００倍にすると誤差は約1/10000になるってワケ。