お前らに質問（７月２３日）の解答例

お前らに質問（７月２３日）の解答例

 

 

問題１　次のことを証明せよ。

　　

ここで、はの逆関数。

【解答例】

　　

とおくと、

　　

よって、0<β<α<π/4で、0<α+β<π/2である。

したがって、

　　

（解答終）

 

問題２　のマクローリン級数を求めよ。

また、このマクローリン級数と問題１の（１）を用い、円周率πの（近似値）値を求めよ。

【解答】

を微分すると、

　　

ここで、t=x²（｜x｜<1）とおくと、

　　

この両辺をxで積分すると、

　　

（１）と（２）を使うと、円周率πは

　　

になる。

そこで、n=3とし5次の項まで計算すると、

　　

と、比較的、精度よく計算できていることがわかる。

 

n=1〜１０まで変化させ、表計算ソフトを使って計算した結果は次の通り。

（解答終）

 

マクローリン級数

　　

の右辺の無限級数は−1<x<1のときに収束する。

対して、

　　

の右辺の無限級数にx=1を代入した、

　　

は収束（※）し、

　　

が成立する。

これをライプニッツ級数という。

ライプニッツ級数は収束が遅く、n=10まで計算した値は

　　

にしかならず、この値を用いて円周率πの近似値を求めると

 

（※）

定理　（交代級数の収束）

が単調減少で、ならば、次の無限級数は収束する。