第３０回 部分積分

第３０回　部分積分

 

 

定理　f(x)、g(x)が区間IでC¹級であるならば、

　　

が成り立つ。

特に、

　　

である。

【証明】

積の微分法より

　　

したがって、両辺をxで積分すると、

　　

ゆえに、

　　

である。

また、g(x)=xとおくと、g'(x)=1だから、

　　

（証明終）

 

問１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（解答終）

 

問１の（３）より

　　

 

 

問２　次の不定積分を求めよ。

 

【解】

（解答終）

 

 

問３　次の不定積分を求めよ。

【解】

　　

また、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

I、Jについて解くと、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

もちろん、

　　

これに、積分定数Cを加え、

　　

と解くこともできるが、上の解答の方が楽ではないか。

 

問４　次の公式を示せ。

【解】

　　

同様に、

　　

とおくと、

　　

これをI、Jについて解くと、

　　

積分定数Cを加えると、

　

（解答終）

 

 

問４　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

　　

（解答終）

 

 

問５　とすれば、次の等式が成り立つことを示せ。

　　

【解】

n=0のとき

　　

n=1,2,3,・・・のとき

　　　　　

（解答終）

 

問５の漸化式を用い、問１の（１）、（２）は次のように計算することができる。

　　　　

 

問６　とすれば、次の等式が成り立つことを示せ。

　　

【解】

n=0のとき、

　　

n=1,2,3,・・・のとき

　　　　

（解答終）

　　

それほど便利な漸化式だと思えないが、これを用いると、

　　

と計算することができる。

 

 

問７　次の等式を証明せよ。ただし、nは整数で、n≧2とする。

【解】

（解答終）