お前らに問題（７月１４日 微分積分）

お前らに問題

 

問題　関数f(x)は実数全体Rで微分可能で、恒等的には０でない（注）とする。次の条件を満たすとき、（１）、（２）を示せ。

　

（１）　f(x)がけっして０にならないならば、ある定数C≠0があって、である

（２）　f(x)はけっして０にならない。

 

 

（注）　「f(x)が恒等的には0でない」とは、「全てのx∈Rに対してf(x)=0」ではないの意味。

つまり、任意のx∈Rに対して、０の値をとる定数関数

　　

としたとき、

　　

であること。

論理記号で書くと、

　　

すなわち、

　　

のことで、

　　

となる実数xが少なくとも一つ存在する関数のこと。

（注、終）

 

 

 

（１）は、

y=f(x)とおくと、

　　

y≠0だから、

　　

両辺をxで積分すると、

　　

といったふうに、①を微分方程式と考え、上のように変数分離法を用いて解を求め、それを解答としてもよいのだろうが、（２）はそうはいかない。

何故、「そうはいかないのか」、あるいは、（１）と（２）の違いがわからないヒトもいるかもしれないが・・・。

 

なお、微分方程式①を

　　

と解いてもいい。

 

さっ、カンバって、この問題を解いてもらいましょうか。

できたら、（不定）積分を使わずに、微分の範囲内で解いて欲しい。