不定積分のやり残し [微分積分]
不定積分のやり残し
問1 次の不定積分を求めよ。
【解】
三角関数の倍角公式から
したがって、
(解答終)
上記のように、三角関数の倍角公式を用い、次数を下げて不定積分を求めるのが一般的であるが、部分積分を用いて次のように解くこともできるだろう。
【別解】
とおく。
正弦関数と余弦関数には、cos²x+sin²x=1が成立するので、この両辺を積分すると、
また、
①と②を連立させ、I、Jについて解くと、
これに積分定数Cを加え、
(別解終)
もちろん、
この右辺に積分定数Cを加え、
などと解くこともできる。
n≧2のとき
が成立するので、n=2を代入すると、
この他にも解答は考えられますが・・・。
さてさて、ここで、お前らに問題。
問題1 漸化式(1)、(2)を用いて、を求めよ。
問題2 次の不定積分を求めよ。
どのような方法を用いて構わないから、問題2の不定積分を求めて欲しい。
問2 a>0とする。次の不定積分を置換積分を用いて求めよ。
【解】
(1) とおくとである。
また、
したがって、
(2) とおくと、
また、
したがって、
(解答終)
では、次の問題を解いてもらいましょうか。
問題3 とおき、置換積分を使って、次の公式を示せ。