不定積分のやり残し

不定積分のやり残し

 

問１　次の不定積分を求めよ。

【解】

三角関数の倍角公式から

　　

したがって、

（解答終）

 

上記のように、三角関数の倍角公式を用い、次数を下げて不定積分を求めるのが一般的であるが、部分積分を用いて次のように解くこともできるだろう。

 

【別解】

　　

とおく。

正弦関数と余弦関数には、cos²x+sin²x=1が成立するので、この両辺を積分すると、

　　

また、

　　

①と②を連立させ、I、Jについて解くと、

　　

これに積分定数Cを加え、

　　

（別解終）

 

もちろん、

　　

この右辺に積分定数Cを加え、

　　

などと解くこともできる。

 

n≧２のとき

　　

が成立するので、n=2を代入すると、

　　

 

 

この他にも解答は考えられますが・・・。

 

さてさて、ここで、お前らに問題。

 

問題１　漸化式（１）、（２）を用いて、を求めよ。

 

問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

 

どのような方法を用いて構わないから、問題２の不定積分を求めて欲しい。

 

問２　a>0とする。次の不定積分を置換積分を用いて求めよ。

【解】

（１）　とおくとである。

また、

　　

したがって、

　　

 

（２）　とおくと、

また、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

では、次の問題を解いてもらいましょうか。

 

問題３ とおき、置換積分を使って、次の公式を示せ。