お前らに質問(7月23日)の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問(7月23日)の解答例
問題1 次のことを証明せよ。
ここで、はの逆関数。
【解答例】
とおくと、
よって、0<β<α<π/4で、0<α+β<π/2である。
したがって、
(解答終)
問題2 のマクローリン級数を求めよ。
また、このマクローリン級数と問題1の(1)を用い、円周率πの(近似値)値を求めよ。
【解答】
を微分すると、
ここで、t=x²(|x|<1)とおくと、
この両辺をxで積分すると、
(1)と(2)を使うと、円周率πは
になる。
そこで、n=3とし5次の項まで計算すると、
と、比較的、精度よく計算できていることがわかる。
n=1〜10まで変化させ、表計算ソフトを使って計算した結果は次の通り。
(解答終)
マクローリン級数
の右辺の無限級数は−1<x<1のときに収束する。
対して、
の右辺の無限級数にx=1を代入した、
は収束(※)し、
が成立する。
これをライプニッツ級数という。
ライプニッツ級数は収束が遅く、n=10まで計算した値は
にしかならず、この値を用いて円周率πの近似値を求めると
(※)
定理 (交代級数の収束)
が単調減少で、ならば、次の無限級数は収束する。
2019-07-24 12:00
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