一般の２階線形微分方程式の解法 [微分積分]
一般の２階線形微分方程式の解法
次の２階線形同次微分方程式がある。
この微分方程式の０でない１つの解をu(x)とし、定数変化法を用いて、これに独立な解v(x)を求めることにする。
u(x)は（１）の解なので、
であり、またv(x)も（１）の解だから、
である。
v=z(x)u(x)とおくと、
これを（３）に代入すると、
これはz'についての変数分離形の微分方程式である。
したがって、この微分方程式の一般解は
をxで積分して、
ここで、c₂=1とすると、
したがって、
問題１ 微分方程式
について、次の問に答えよ。
（１） y=1/xが解であることを示せ。
（２） 微分方程式を解け。
【解】
（１） y=1/xとすると、
よって、y=1/xは解である。
（２） x≠0とすると、
よって、
したがって、u=1/xと独立な解vは
よって、
（解答終）
微分方程式
において、y=u(x)v(x)、
とおくと、u(x)は
を満たす。
これを２階線形微分方程式の標準形という。
【証明】
y=uvだから、
これを（５）に代入すると、
一方、
だから
、
これを（７）式に代入すると、
（証明終）
が定数の場合、微分方程式（５）は簡単に解くことができる。
問題２ 次の微分方程式を標準形にして解け。
【解】
（１） P=−3、Q=2、R=0だから、
よって、
また、
だから、
（２） P=2x、Q=x²、R=0だから、
よって、
また、
したがって、
（解答終）
問題３ 微分方程式
について、次の問に答えよ。
（１） 微分方程式を標準形に直せ。
（２） 標準形に直して、この微分方程式の解を求めよ。標準形に直して求めた解と問題１で求めた解と一致するか。一致しないならば、何故か、考察せよ。
【解】
（１）
よって、
したがって、
よって、
（２） の一般解は
vは
したがって、
（解答終）
2019-07-26 12:00
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