第３２回 三角関数の積分

第３２回　三角関数の積分

 

三角関数の積分には幾つかのタイプがある。

まずは、もっとも基本的な、三角関数の倍角公式と積和公式を用いるタイプ。

 

倍角公式

　　

三角関数の積和公式

　　

 

 

問１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（解答終）

 

次に、

　　

のように、不定積分が

　　

の形で表される場合。

前者の場合、t=sinxとおくと、dt=cosxdxとなるので、

　　

後者の場合、t=cosxとおくと、−dt=sinxdxとなるので、

　　

と、不定積分を求めることができる。

 

問２　次の不当積分を求めよ。

【解】

（１）　t=sinxとおくと、cosxdx = dtだから、

　　

 

（２）　t=cosxとおくと、sinxdx=−dtだから、

　　

 

（３）　被積分関数の分母分子に1+sinxを掛けると、

　　

右辺第１項の不定積分は

　　

右辺第２項の不定積分は、t=cosxとおくと、sinxdx=−dtとなるので、

　　

したがって、

　　

 

（４）　被積分関数の分子分母に1+sinxを掛けると、

　　

t=sinxとおくと、cosx=dtだから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

タイプ３

の場合は、

t=tanxとおくと、

　　

 

問　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

t=tanxとおくと、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

 

タイプ４

より一般のの場合は、

とおくと、

　　

したがって、倍角公式（半角公式？）から

　　

また、x=2tan⁻¹tだから、

　　

以上のことから、

とおいたとき、

　　

 

問　次の不定積分を求めよ。

【解】

とおくと、

　　

（解答終）