第３０回 部分積分 [微分積分]
第３０回 部分積分
定理 f(x)、g(x)が区間IでC¹級であるならば、
が成り立つ。
特に、
である。
【証明】
積の微分法より
したがって、両辺をxで積分すると、
ゆえに、
である。
また、g(x)=xとおくと、g'(x)=1だから、
（証明終）
問１ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（解答終）
問１の（３）より
問２ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（解答終）
問３ 次の不定積分を求めよ。
【解】
また、
ここで、
とおくと、
I、Jについて解くと、
よって、
（解答終）
もちろん、
これに、積分定数Cを加え、
と解くこともできるが、上の解答の方が楽ではないか。
問４ 次の公式を示せ。
【解】
同様に、
とおくと、
これをI、Jについて解くと、
積分定数Cを加えると、
（解答終）
問４ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（解答終）
問５ 
とすれば、次の等式が成り立つことを示せ。
【解】
n=0のとき
n=1,2,3,・・・のとき
（解答終）
問５の漸化式を用い、問１の（１）、（２）は次のように計算することができる。
問６ 
とすれば、次の等式が成り立つことを示せ。
【解】
n=0のとき、
n=1,2,3,・・・のとき
（解答終）
それほど便利な漸化式だと思えないが、これを用いると、
と計算することができる。
問７ 次の等式を証明せよ。ただし、nは整数で、n≧2とする。
【解】
お前らに質問（７月１７日 微分積分） [お前らに質問]
お前らに質問（７月１７日 微分積分）
問題１ 次のことを示せ。
今回、あえて、この公式は紹介しなかったのだけれど、この公式を証明して欲しい。
まぁ、
だから、a≠1ならば、
よって、
や、
としてもいいのですが・・・。
このように証明するヒトは、公式（２）を証明するにゃ。
ではあるが、できたら、置換積分を使って、公式（１）を証明して欲しい。
ところで、韓国のある新聞社のオンライン記事を読んでいたところ、次のような記述があった。
今回の調査は１６日に実施され、成人５００人が回答した。標本誤差は９５％の信頼水準で±４．４ポイント。
±4.4ポイントという数字がどこから出てきたんだろうと、すこし考えてみたところ、
の右辺のpをp=1/2とし、これを（３）式の右辺に代入し
としているみたいだね。
ここで、pは調査の対象となる母集団に◯◯が占める割合、<p>は母集団からn個取り出した作った標本集団に占める◯◯の割合である。
記号的に<p>というのは問題があるかもしれないが、適当な記号も思いつかなかったので、とりあえず、ここでは、見やすいように、この記号を使ったにゃ。
では、お前らに改めて質問するにゃ。
問題２ 何故、（３）式の右辺のpの値を1/2とするのでしょうか。また、信頼度９５％で、
にするには、標本数nをいくつすればよいか。
ノーヒントじゃ辛いかもしれないので、ヒントを出すにゃ。
【ヒント】
とするとき、この関数の最大値は、いくつ？
ある政策などに対する世論の支持率pの正しい値は、国民、または、有権者全てに対する全数調査をしないとわからないので、どうしても、標本（標本数はn)を調べてることになってしまう。そして、このような抜き取り調査の場合、どうしてもある一定の確率で誤差が含まれる。抜き取り検査の誤差の評価をするとき、誤差を大きく評価するぶんには・・・。
こうした評価法も存在する。
だから、ネムネコの命令、指示には無条件で従うように。
ねこ騙し数学、アクセス・ランキング８位に！！！ [ひとこと言わねば]
So-netブログでブログを始めて、かれこれ、４年。この長い年月の末に、本日、So-netブログのアクセス・ランキングでトップ１０入りしたにゃ。
嘘じゃないにゃ、その証拠を示すにゃ。
これは、昨日の報告記事の中に「お賽銭ちょうだい」という曲の童画を埋めこんだ、神頼みパワーのお陰に違いない。
ということで、さらなるランクアップを「ねこ巫女」に願い、この曲の動画を♪
さらに、神社系のアニソンを埋め込むにゃ。
ネムネコの前に広がっているのは、『明日へのbrilliant road』に決まっているにゃ。
第２９回 置換積分 [微分積分]
第２９回 置換積分
定理
関数f(x)は区間Iで連続とする。関数x=φ(t)が区間JでC¹級で、φ(J)⊂Jならば
が成り立つ。
例
t=x²+xとおくと、
したがって、
などと計算するのが正式なのでしょうが、
とし、
と計算したほうがよい。
問１ (F(x))'=f(x)ならば
【解】
ax+b=tとおくと、
したがって、
（解答終）
問１から、a≠0のとき
問２ 次の等式が成り立つことを示せ。
【解】
t=f(x)とおくと、
したがって、
（解答終）
問３ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
だから、問１より
（２）
（３）
（解答終）
【別解】
（１）
t=cosxとおくと
よって、
（２）
t=sinxとおくと
したがって、
（３） t=1+x²とおくと
よって、
（別解終）
問４ 次の不定積分を計算せよ。
【解】
（１） t=1−xとおくと、x=1−t。
したがって、
よって、
（２） t=3x−2とおくと、x=(t+2)/3。
よって、
したがって、
（３） t=x²とおくと、
よって、
（４） t=√xとおくとx=t²。
よって、
したがって、
（解答終）
一般に、
は、t=sinxとおくと、
となるので、
また、
は、t=cosxとおくと、
となるので、
問５ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
ここで、t=sinxとおくと
よって、
（２）
t=cosxとおくと、
したがって、
（３） cosx=tとおくと、
よって、
（解答終）
問６ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１） t=logxとおくと、
したがって、
（２） t=logxとおくと、
よって、
（３） 
とおくと、x=logt。
よって、
したがって、
（解答終）
問題 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
t=sinxとおくと
よって、
（２）
t=cosxとおくと、
よって、
したがって、
（３）
t=sinxとおくと
したがって、
ゆえに、
（４） とおくとx=logt。
よって
したがって、
（解答終）
ねこ騙し数学、アクセス・ランキング１１位に！！ [ひとこと言わねば]
だって、ネムネコは、「北斗の拳」に登場するサウザーのように誇り高いにゃ。お前らに媚びるくらいならば、サウザーのように誇りと共に砕け散ったほうがマシだケロ。
ちなみに、同事とは、「他人の喜びや悲しみなどをともにすること。そのような心のハタラキ」。
韓国、「り地域」に！？ 「リ地域」って何だ？ [ひとこと言わねば]
さすが、韓国だにゃ。
まあ最下位…では無いんですけどねｗ
単に今まで「ち」までしか無かったのに一個追加したので
「り」になったと言う…
ホワイトから除外という前代未聞の国ですが
共産圏や政情不安では無いですから他に入れる妥当な地域が無く
やむを得ないので昔ホワイトだった自由民主主義国
みたいな区分を追加したのかと
ぶっちゃけ「ち」に入れた方がインパクトある気がしますｗ
大韓民国向け輸出管理の運用の見直しについて経済産業省は、外国為替及び外国貿易法（以下、「外為法」）に基づく輸出管理を適切に実施する観点から、大韓民国向けの輸出について厳格な制度の運用を行います。輸出管理制度は、国際的な信頼関係を土台として構築されていますが、関係省庁で検討を行った結果、日韓間の信頼関係が著しく損なわれたと言わざるを得ない状況です。こうした中で、大韓民国との信頼関係の下に輸出管理に取り組むことが困難になっていることに加え、大韓民国に関連する輸出管理をめぐり不適切な事案が発生したこともあり、輸出管理を適切に実施する観点から、下記のとおり、厳格な制度の運用を行うこととします。
https://is.gd/Dmq0VB
「あああ」さんがおっしゃるように、
韓国を分類できる区分・カテゴリーがなかったので、新たに「り地域」を設け、そこに韓国を分類した
というのが正しいのでしょう。
しかし、多くの日本国民の韓国への信頼度は、おそらく、世界最低水準でしょうから、「韓国の信頼度は世界最下位」というのも、あながち、間違いでないのかもしれない。
少なくとも、日本国民の多くは、「ち地域」に分類されている、イラク、イランほどには、韓国を信用、信頼していないのではないでしょうか。
なんたって、イラクは、世界最古の法典の一つである「ウル・ナンム法典」（世界最古の法典は「ハンムラビ法典」ではない）の時代から成文法が支配する地だからね。西洋の近代法と異なるイスラム法という立派な法体系も持っている国だにゃ。
https://is.gd/mXvDjr
http://on-the-road.co/?p=2896
https://is.gd/ztvLvV
第２８回 不定積分 [微分積分]
第２８回 不定積分
ある区間で定義されている関数f(x)に対して、この区間の全ての点で
である関数F(x)をf(x)の原始関数という。
定理１
関数F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、F'(x)=f(x)ならば、F(x)+C（Cは定数）も原始関数である。関数G(x)がf(x)の他の原始関数ならば、G(x)−F(x)は区間Iで定数である。
【証明】
F(x)はf(x)の原始関数なので、
したがって、
よって、F(x)+Cもf(x)の原始関数である。
仮定より、G(x)もf(x)の原始関数なので
したがって、
よって、
（証明終）
f(x)の原始関数の全てをf(x)の不定積分（注）といい、記号
で表す。
F(x)を原始関数の１つとすると、定理１より、
である。
f(x)の不定積分を求めることをf(x)を積分するといい、式（２）の任意定数Cを積分定数という。また、f(x)を被積分関数という。
（注）
原始関数を不定積分と呼ぶ流儀、
や
を不定積分とする流儀がある。
（注終）
次に、代表的な関数の不定積分の公式を示す。
定理２
ここで、
である。
上の公式の中で覚える必要があるのは、
など限られたもので、これは、次の微分公式から直ちに導き出すことができる。
問１ 定理２の右辺を微分することによって、定理２が成り立つことを確かめよ。
定理２
【証明】
したがって、
はαf(x)+βg(x)の不定積分である。
（証明終）
問２ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（解答終）
問３ 次の条件に当てはまる関数f(x)を求めよ。
【解】
（１） f'(x)=x√xの両辺を積分すると、
f(0)=1だから、C=1。
よって、
（２） f''(x)=−2x+3の両辺を積分すると、
f'(0)=−2だから、C₁=−2。
よって、
この両辺をで積分すると、
f(0)=1だから、C₀=1。
よって、
（解答終）
ねこ騙し数学、So-netブログのアクセス・ランキング、１３位に！！ [ひとこと言わねば]
その証拠を。
ということで、まず、この快挙（？）、偉業（？）を、この動画↓で自画自賛するにゃ。
だから、お前ら、オレの下克上に力を貸すにゃ。
お前らに問題（７月１４日）の答 [お前らに質問]
お前らに問題（７月１４日）の答
問題 関数f(x)は実数全体Rで微分可能で、恒等的には０でない（注）とする。次の条件を満たすとき、（１）、（２）を示せ。
（１） f(x)がけっして０にならないならば、ある定数C≠0があって、
である
（２） f(x)はけっして０にならない。
【解答】
（１） 問題の条件より、関数
はRで微分可能であり、
したがって、
関数f(x)は連続で決して0にならないから、その符号は一定である（注２）。
よって、
か
のいずれかで、いずれにせよ、
とすれば、
（２） 
である点x₀が存在するとする。
1>ε>0をとり、I=[x₀−ε,x₀+ε]とすると、｜f(x)｜はIで連続なのでIで最大値が存在し、
とすると、平均値の定理より
となるξがx₀とx₁の間に存在する。
問題の条件よりf’(ξ)=f(ξ)だから、
ゆえに、
ならば、1≦ε<1となり矛盾。
したがって、区間[x₀−ε,x₀+ε]で関数f(x)は恒等的に0である。
この方法で、f(x)は実数全体Rで０となり、矛盾が生じる。
よって、f(x)はけっして０にならない。
（解答終）
（注１）
x∈Rで
だから、
定理１ 関数f(x)、g(x)は区間Iで微分可能とする。
ならば、区間Iでf(x)−g(x)は定数（関数）である。
（注２）
定理２ 関数f(x)が点x=aで微分可能ならば、f(x)は点x=aで連続である。
定理３ 関数f(x)が点aで連続かつf(a)>0（f(a)<0）ならば、点aの近傍でf(x)>0（f(x)<0）である。
定理４ 関数f(x)が閉区間I=[a,b]で連続であるとき、f(x)はIで最大値、最小値をもつ。
とある微分積分の演習書に出ている解答を真似ると、解答はこのようになる（らしい）。
平均値の定理をはじめに、定理１〜４を使っており、この解答は難解のように思う。
しかし、こうすれば簡単に解けるんじゃないか。
【ネムネコの解答】
この両辺に
を掛けると
ところで、
f(x)はRで微分可能であり、関数もRで微分可能。したがって、
はRで微分可能。
したがって、
よって、
もし、
である点x₁があるとすると、
したがって、任意のx∈Rに対して
となり、f(x)が恒等的には0でないことと矛盾。
したがって、f(x)はけっして０にならない。
【解答終】
お前らに問題（７月１４日 微分積分） [お前らに質問]
お前らに問題
問題 関数f(x)は実数全体Rで微分可能で、恒等的には０でない（注）とする。次の条件を満たすとき、（１）、（２）を示せ。
（１） f(x)がけっして０にならないならば、ある定数C≠0があって、である
（２） f(x)はけっして０にならない。
（注） 「f(x)が恒等的には0でない」とは、「全てのx∈Rに対してf(x)=0」ではないの意味。
つまり、任意のx∈Rに対して、０の値をとる定数関数
としたとき、
であること。
論理記号で書くと、
すなわち、
のことで、
となる実数xが少なくとも一つ存在する関数のこと。
（注、終）
（１）は、
y=f(x)とおくと、
y≠0だから、
両辺をxで積分すると、
といったふうに、①を微分方程式と考え、上のように変数分離法を用いて解を求め、それを解答としてもよいのだろうが、（２）はそうはいかない。
何故、「そうはいかないのか」、あるいは、（１）と（２）の違いがわからないヒトもいるかもしれないが・・・。
なお、微分方程式①を
と解いてもいい。
さっ、カンバって、この問題を解いてもらいましょうか。
できたら、（不定）積分を使わずに、微分の範囲内で解いて欲しい。
