第２８回 不定積分

第２８回　不定積分

 

 

ある区間で定義されている関数f(x)に対して、この区間の全ての点で

　　

である関数F(x)をf(x)の原始関数という。

 

定理１

関数F(x)がf(x)の原始関数、すなわち、F'(x)=f(x)ならば、F(x)+C（Cは定数）も原始関数である。関数G(x)がf(x)の他の原始関数ならば、G(x)−F(x)は区間Iで定数である。

　　

【証明】

F(x)はf(x)の原始関数なので、

　　

したがって、

　　

よって、F(x)+Cもf(x)の原始関数である。

仮定より、G(x)もf(x)の原始関数なので

　　

したがって、

　　

よって、

　　

（証明終）

 

f(x)の原始関数の全てをf(x)の不定積分（注）といい、記号

　　

で表す。

F(x)を原始関数の１つとすると、定理１より、

　　

である。

f(x)の不定積分を求めることをf(x)を積分するといい、式（２）の任意定数Cを積分定数という。また、f(x)を被積分関数という。

 

（注）

原始関数を不定積分と呼ぶ流儀、

　　

や

　　

を不定積分とする流儀がある。

（注終）

 

次に、代表的な関数の不定積分の公式を示す。

 

定理２

 

 

ここで、

　　

である。

 

上の公式の中で覚える必要があるのは、

など限られたもので、これは、次の微分公式から直ちに導き出すことができる。

 

 

問１　定理２の右辺を微分することによって、定理２が成り立つことを確かめよ。

 

定理２　

　　

【証明】

　　

したがって、はαf(x)+βg(x)の不定積分である。

（証明終）

 

 

問２　次の不定積分を求めよ。

【解】

（解答終）

 

問３　次の条件に当てはまる関数f(x)を求めよ。

【解】

（１）　f'(x)=x√xの両辺を積分すると、

f(0)=1だから、C=1。

よって、

 

（２）　f''(x)=−2x+3の両辺を積分すると、

f'(0)=−2だから、C₁=−2。

よって、

この両辺をで積分すると、

f(0)=1だから、C₀=1。

よって、

（解答終）