第１１回 広義２重積分の計算２ [重積分]
第１１回 広義２重積分の計算２
前回まで広義積分とは異なるタイプの計算をすることにしますにゃ。
問題１ 次の広義積分の値を求めよ。
【解】
この問題は、原点だけ取り除いてあるにゃ。
―――原点で被積分関数が不連続！！―――
D上で1/(x+y)≧0。
次のような増加近似列を考える。
そうすると、
となる。
よって、
となる。
や
は存在しないのに、上の積分は存在する。不思議だと思わない？
問題２ 次の広義積分の値を求めよ。
【解】
という形が出たら、極座標に座標変換しろと言っているようなもの・・・。
さて、これは次のような近似増加列を考える。
で、お決まりのx=rcosθ、y=sinθとおいて極座標変換する。
そして、
でだ、
になるので、
になる。だから、
ということで、
になる。
になるのは、これまでに何度も証明しているケロ。ロピタルの定理を使ってずるしてもいいにゃ。
で、
だから、ハサミ打ちの定理を使って、
ちなみに、
はDで負値関数。
問題３
【解】
D上で
。そして、次のような増加近似列を考える。
で、
よって、
なのですが、実際に計算するときはこんな面倒なことをせず、たとえば問題１ならば、
と計算するにゃ。
第１０回 広義２重積分 [重積分]
第１０回 広義２重積分
近似増加列
近似増加列の定義
次を満たす面積確定の有界閉集合の列
をDの近似増加列という。
（１） 
（２）Dに含まれる任意の有界閉集合Kに対して
となる自然数nが存在する。
たとえば、
とし、
とすれば、（１）と（２）の条件を満たすので近似増加列になっている。
さらに、用語の説明を続ける。
正値関数とその広義積分
f(x,y)をD上で連続な正値関数、をD上の任意の近似増加列とする。
このとき、
が上に有界だとすると、これはnに関して単調増加なので収束する。
正確に言うと、上の定義は正値関数の２重積分だけれど。
で、収束するのはいいけれど、この極限値が近似増加列のとり方によって変わってもらっては困る。①が意味をもつのは、極限値が近似増加列のとり方によらない必要がある。
定理
f(x,y)はD上の正値関数とする。このとき、D上の増加近似列、
に対して
である。
この定理によって、正値関数の広義積分の一意性が保証される。
ということで、早速、問題を解いてみるにゃ。
問題１ 
【解】
これだとピンとこないかもしれない。
ということです。
D上で
だから正値関数。そして、次のような増加近似列を考える。
そうすると、
となり、n→∞とすれば、１になる。よって、
となる。
そして、超有名な次の積分をやる。
問題２
【解】
この積分は
のこと。
D上で
だケロ。
で、次のような近似増加列を作る。
x=rcosθ、y=rsinθで極座標変換すると、これは次のようになる。
そうすると、
になる。
よって、
になる。
それでだ、
だから、
さらに、
は偶関数なので、
となる。
物理や統計によく出てくる積分だケロ。第９回 ２重積分の演習１ [重積分]
第９回 ２重積分の演習１
重積分に関しては、とにかく計算ができないことには始まらないので、問題を幾つか解くことにするにゃ。
問題１ 次の重積分の値を求めよ。
[解】
Dは縦線集合なので
また、Dを横線集合と考えるならば、
となる。
問題２ 次の積分の順序を交換せよ。
【解】
（１）積分領域Dは
図を見るとわかるけれど、これを横線領域で書くと、
になる。
よって、
になる。
ちなみに、
は、y=cosxの逆関数。
（２）積分領域Dは
これを横線集合に書き換えると、
になるので、
問題３ 次の重積分を極座標に変換して求めよ。
【解】
（１）x=rcosθ、y=rsinθと座標変換すると、ヤコビアンJ=rとなる。また、Dは次のようにｒθ平面に写される。
よって、
ここで、
よって、
これ↓くらいは、暗算でできる―――と言うか、見ただけで答が分かる―――ようになってもらわないと困る。
なのだが、この問題はもっと簡単に計算できる。この場合、
だから、
上の計算では、三角関数の倍角公式
を使っているよ。
ちなみに、ネムネコはこの公式を覚えておらず、使うとき、その場で導く(^^ゞ
数学の公式なんて覚えるもんじゃないにゃ。覚えるとバカになる。そもそも覚えていないから、何年経っても忘れない(^^)
第８回 極座標変換 [重積分]
第８回 極座標変換
極座標(r,θ)といわゆるxy平面のデカルト直交座標とは次の関係がある。
前回、極座標の場合ヤコビアンJ
になるという話をしたにゃ。
だから、次の関係が成り立つ。
定理８（極座標への変換）
Dをxy平面上の積分領域とし、関数f(x,y)は連続関数とする。Dが極座標変換によってrθ平面のEに１対１にうつされるとき、次の関係が成り立つ。
一番わかり易いのは、Dが原点を中心とする半径aの円周とその内部の領域、つまり、
の時、これは極座標平面の
になる。
ということで、早速、問題を。
問題１
【解】
x=rcosθ、y=rsinθとおき、極座標変換すると、極座標平面におけるEは
となるので、
で、
とおくと
となるので、
よって、
となる。
問題２
【解】
これは極座標変換によってEは次のようになる。
だから、
となる。
問題１の時のように 
はθに関する積分の計算に直接関係しないので、問題２の【解】の計算のようにｒとθを分離して計算してもいい、この方が計算がすこし楽になる。半径aの円の中心が必ず原点であるという保証はないケロ。たとえば、次の問題。
問題３
【解】
となる。
よって、
で、
となるので、
となる。
第７回 変数変換 [重積分]
第７回 変数変換
１変数関数の積分で置換積分をやったにゃ。α≦t≦βで定義された関数φが滑らかで単調な関数でかつx=φ(t)、a=φ(α)、b=φ(β)であるとき、
この置換積分のようなものが２重積分にも存在するという話。
級の関数φ、ψがあって、x=φ(u,v)、y=ψ(u,v)であるとき、
という謎の量、ヤコビアンというものを定義する。
ちなみに、
このヤコビアンなる謎の量を導入すると、次のようになるにゃ。
定理７
Dをxy平面の積分領域とし、f(x,y)はDで連続とする。
がJ≠0であるならば、
である。
証明は結構大変なので、これも天下り的に受け入れてもらうことにするにゃ。
感覚的に受け入れてもらうことにするケロ。かりに、x=2u、y=2vという変換があり、xy平面上の0≦x≦1、0≦y≦1という領域Dがuv平面の領域Eにうつされたとするにゃ。
そうすると、x=2u、y=2vなのだから、これは0≦u≦1/2、0≦v≦1/2になる。で、uv平面上のEの面積を計算すると、1/2×1/2=1/4。面積が変わっている。だから、uv上で積分する場合、面積を４倍しないといけない。で、このヤコビアンを計算すると、
なので、これを掛けてやると、面積の辻褄が合うというわけ。
つまり、一般に図形を変換すると元の図形と面積が変わってしまうので、面積の辻褄合わせをしないといけない。それがヤコビアンという量という。
たとえば、原点を中心とする半径aの円の内部と円周の領域D
があるとする。この図形の面積は
だにゃ。
そうすると、xy平面のDはrθ平面上の0≦r≦a、0≦θ≦2πという長方形のEに変換される。このuv平面上のEの面積を求めると、2πaなので、元の面積と変わってしまっている。
だから、面積の辻褄合わせが必要。
そこで、ヤコビアンを求めてみる。
になるので、
となり、DとEの面積が一致する。
ちなみに 
だにゃ。
また、定理７より
これは公式のようなものだから、覚えておいたほうがいい。
第６回 少しだけ一次変換 [重積分]
第６回 少しだけ一次変換
１次変換
x'=ax+by、y'=cd+dy・・・①によって、点P(x,y)と点P'(x',y')との関係を定めると、平面座標上の点の集合R×RからR×Rへの写像が与えられる。このような写像を１次変換といい、①を変換式という。これを行列であらわすと
となる。
行列
によって定まるから、行列Aは１次変換をあらわす行列といい、簡単に１次変換Aということがある。
で、
とおき、基本ベクトル
のAによる像を求めると、
となる。
で、行列式det(A)=ad–bc≠0のときaとbは平行ではなく、この２つのベクトルaとbで作られる平行四辺形の面積は
Aで１次変換すると、その像の面積は|ad–bc|倍になるんだケロ。
じゃあ、行列式が０の時はどうなるか。
の場合を調べてみるにゃ。
となるので、
となって、平面上の点はすべて原点Oと点(1,2)を結ぶ直線上に存在することになる。
零行列の時は像はすべて原点だにゃ。
だから、行列式の値が０のとき、全平面は原点を通る直線、または平面上の原点にうつされると予想できるにゃ。
これで終わるのもなんなので、ついでにもう少し１次変換に関する話をするにゃ。
問題１
１次変換
によって、直線l上の点は、すべてこの直線上にうつされた。この直線の方程式を求めよ。
【解】
自分自身にうつされる直線のことを不動直線というにゃ。
直線の方程式をy=mx+n、この直線上の点を(t,mt+n)とする。
この点((1–2m)t–2n,−3t)
は直線l:y=mx+n上にあるので、
これはすべてのｔについて成立するので、
②式より
で、1–2m≠0だから、③式の両辺を1–2mでわると、n=0
よって、
ここで終わっちゃ〜いけないにゃ。
x=c（cは定数）も直線だからね。ということで、この直線上の点を(c,s)とすると、
にうつされるけれど、これではy=−3cになってしまうので、不適。
だから、y=3x/2とy=−xが答。問題２
零ベクトルでない
が１次変換
によって
に平行なベクトルにうつされるとき、はどのようなベクトルか。
【解】
に平行なベクトルとは
とあらわすことができる。
ということで
で、左辺の行列式の値が0でないとx=0、y=0が解になってしまうので、行列式の値は０ではない。
この２次方程式をとくとk=2、5となる。
ということで、
k=2のときは④より
よりx+y=0となり、y=−x。
k=5のときは
になるので、x–2y=0となり、x=2yになる。
ということで、求めるベクトルは
となる。xとｙのままだとなにかと誤解されやすいので、それぞれs、ｔにすると、
ここで、ｓとｔは任意の定数。
このkのことをAの固有値といい、そして、こういうベクトルのことをAの固有ベクトルという。
第５回 行列と行列式 [重積分]
第５回 行列と行列式
高校で習う数学についてまったく知らないので、高校で行列を習っていない人がいるかもしれない。ということで、２×２の正方行列についてちょこっとやるにゃ。
２次の正方行列Aとは
という４つの数の組みたいなものだにゃ。
より一般のm×nの行列は次のようになる。
特にn=mの場合、n次の正方行列という。
で、横の並びを行、縦の並びを列といい、そのi行ｊ列の成分
というふうに書くにゃ。一々成分を書くのは大変なので、
と略記するにゃ。
列ベクトル、行ベクトル
1×n行列をn次元行ベクトル、m×1行列をm次元列ベクトルという。平面ベクトル
や
を1×2、1×3の行列を用いて
とあらわしたり、列ベクトルを用いて
とあらわしたりするにゃ。
行列の相等
次のような２次の正方行列A、Bがあるとする。
この行列AとBの成分、
であるとき、AとBは等しいといい、A=Bと書く。
より一般の行列m×n行列
の場合は、i=1〜m、j=1〜nのすべてのi、ｊに対して
であるとき、A=Bとなる。
行列の和と差
同じ型の２つの行列において
をi-j成分とする行列
をAとBの和といい、A+Bであらわす。
2×2の正方行列の場合、
となるにゃ。
上の結果を見れば明らかだけれど、行列の足し算に関して交換法則、つまり、A+B=B+Aが成り立つ。一般の場合も、
となるので和に関して交換法則が成り立つにゃ。
において
をi-j成分とする行列
をA–Bであらわすにゃ。
2×2の正方行列の場合
となる。
行列の実数倍
そして、kA=Akは、ほとんど明らかでしょう。
行列の積
m×lの行列
とl×ｎの行列
の行列のi-j成分を
で定義するんだケロ。m×lとl×nの行列の積は、m×nの行列になる。これをABと書く。
特に、2×2の正方行列の場合、
となるにゃ。
そして、2×2の行列と2×1の行列（列ベクトル）の積は2×1の行列（列ベクトル）になる。 
さらに、1×2の行列（２列の行ベクトル）と2×1の行列（２行の列ベクトル）との積は1×1の行列（スカラー）になるにゃ。
そして、
ちなみに、行列同士の積に関しては交換法則、つまり、AB=BAは一般に成り立たない。
零行列と単位行列
すべて成分が０である行列を零行列といい、Oであらわす。
たとえば、
などなど。
単位行列とは、
を成分とする正方行列のことで、記号EやIであらわすにゃ。
2×2の正方行列ならば、
となる。
逆行列
AとXを正方行列とする。で、AX=XA=IとなるXが存在するとき、このXをAの逆行列といい、
という。
のとき、
となる。
ad–bc=0のときは逆行列は存在しない。
あくまで２次の正方行列の場合だけれど、このad–bcを行列式といい、det(A)や｜A｜
であらわす。
と書いたりもするにゃ。
行列式は２次以上の正方行列の場合でも定義できるけれど、２次の正方行列の行列式のように簡単に計算できないんだケロ。
行列を用いた連立２次方程式の解法
となるので、
そして、行列式が0でなければ、逆行列の定義より
となり、連立２元方程式の解が一意に求められる。
で、ad–bc=0とはどういうことなのかというと、
となるので、直線ax+by=pとcx+dy=qが平行ということ。
そして、さらにp=kqのときax+by=pはk(cx+dy)=kqになるのでk≠0ならば、両辺をkで割るとcx+dy=qとなり、ax+by=pとcx+dy=qは同じ直線になる。同じ直線なので解（２直線？の交点？）は無数に存在し、一つに定まらない。したがって、不定。
で、p≠kqのときは、相異なる平行な直線なので、解は無いにゃ。
粗い議論だけれど、そういう話になるにゃ。
第４回 ２重積分の計算例 [重積分]
第４回 ２重積分の計算例
計算が苦手なネムネコのこと、計算量の多い重積分を取り上げたことを後悔し始めている。
では、早速、やるにゃ。問題１
【解】
積分領域Dを図で示すと上のようになる。ということで、積分領域は次のように書き換えることができる。
だから、
と計算することができる。
ここで、
よって
となる。
これは横線集合で計算しているけれど、もちろん縦線集合としても計算することができる。
縦線集合として計算する場合、
―――計算する気はない。２重積分の計算問題としてこれを計算して同じ値になるように確かめるケロ！！―――
だから、計算が楽になるように、計算量が減るように積分の順序を選ぶことが大切なんだケロ。上の問題は、縦線集合で計算するか横線集合で計算するかによって計算量が変わるだけだけれど、次の問題の場合、積分の計算順序によって積分の計算ができない（不定積分が求められない！！）。
問題２
【解】
この２重積分を縦線集合で累次積分にすると
となる。
だから、
となる。
これを横線集合上で累次積分化すると、
となるけれど、
の不定積分を求めることが出来ないので、ここから先を計算ができなくなるにゃ。
積分の順序交換
f(x,y)が連続関数で、積分領域Dがx方向、y方向の縦線集合である場合、
が成り立つ。この２つの累次積分の一方から他方への変換を積分の順序交換という。
要するに、最初に縦（ｙ方向）で積分をするか、横（ｘ方向）で積分するか、この積分の計算の順序を交換すること。問題３
【解】
これはこの順序じゃ〜計算できないケロよ。
という不定積分を求めることができないからだにゃ。
ということで、積分の順序を次のように交換するんだにゃ。
積分領域Dは縦線集合であらわすと
だけれど、横線集合であらわすと
になるので、
となるにゃ。
ちなみに、
だにゃ。
計算だから、自分で実際に計算しないことには力がつかない。
ということで宿題を一つ。宿題 次の計算をするケロ。
答は7/6と11/40になるらしいケロよ。
第３回 一般の集合上の２重積分 [重積分]
第３回 一般の集合上の２重積分
第１回、第２回で取り上げた２重積分は、有界な長方形領域の２重積分。今回は、より一般の集合上の２重積分を定義し、これを計算できるようにしようというお話です。
定義３（２重積分の定義）
Dを
の有界な部分集合とし、f(x,y)をD上の有界な関数とする。このときD⊂Kとなる閉区間Kを１つとり、K上の関数f*(x,y)を次のように定義する。
f*(x,y)がK上で重積分可能なとき、f(x,y)はD上で重積分可能であるといい、その積分の値を
と定義する。
定義４（面積の定義）
定数関数1が
で定義する。
定理４（面積確定の必要十分条件）
定理４は天下り的に受け入れてほしいニャ。
このように定義すると第１回でやった定理１、定理２は次のように拡張できる。
定理５（重積分の性質）f(x,y)、g(x,y)をD上で積分可能な関数とする。このとき、
（a） cf(x,y)、f(x,y)+g(x,y)もD上で積分可能であり
（ｂ）f(x,y)≧g(x,y)ならば
（ｃ）
定理６（連続関数の可積分性）
関数f(x,y)が領域D上で連続であれば、f(x,y)は積分可能である。
そして、更に縦線集合なるものを定義する。
定義５（縦線集合）
を用いて
とあらわされるとき、Dを縦線集合という。
また、閉区間[c,d]上で連続な関数
を用いて
とあらあされるとき、Dを横線集合という。
こんな定義よりも下の図を見たもらったほうがわかりやすいと思うにゃ。
と定義したところで、いよいよ、本題。
定理６（縦線集合上の２重積分の累次化）
関数f(x,y)は
（１）Dが縦線集合
であれば
である。
（２）Dが横線集合
であれば
である。
定理６の証明はそのうち与えることにして、今は先を急ごう。
問題D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}であるとき
を求めよ。
【解】
わかると思うけれど、念のために
だからね。
ということで、
となる。
なのだけれど、これは見方を変えると、次のように横線集合と考えることができる。
だから、次のように計算することもできる。
第２回 重積分の計算 [重積分]
第２回 ２重積分の計算
第１回でやった２重積分の定義から積分の値を求めるのは至難の業なので、とりあえず、証明なしで次の定理を受け入れてもらうことにするにゃ。
定理３（区間上の２重積分の累次化）
関数f(x,y)が閉区間K=[a,b]×[c,d]で連続ならば、
ここで注意して欲しいのだけれど、累次積分と２重積分を区別するために
と書いたりもするにゃ。
そして、
と書いたりする。
誤解を招きやすい表記法なので、ねこ騙し数学では、こういう表記法を極力使わないことにして、括弧をつけた表記法を使うことにするにゃ。
K=[a,b]×[c,d]上の連続関数f(x,y)が[a,b]で定義される連続な関数φ(x)、[c,d]で定義される連続な関数ψ(y)で
f(x,y)=φ(x)ψ(y)とｘの関数φ(x)とyの関数ψ(y)であらわされるとき 
―――１変数関数の積分のタダの積になる―――
これは、この２重積分を累次化すると
となり、
はｙを含まない定数なので、この部分はyに関する積分記号の外に出せるので
となることから分かる。
わかりづらかったら、③の変形の時に
とおけばいいにゃ。
そうすると、
となり、このAを元に戻せば③になるにゃ。
問題１ K=[0,1]×[0,1]のとき、次の値を求めよ。
【解】
②式を使うならば、
となる。
①式を使うならば、
となる。これはxに関する積分を最初に計算したけれど、
として計算してもいい。
問題２K=[0,1]×[0,1]のとき、次の値を求めよ。
【解】
あるいは、
これくらいならば、最初にxで積分しようが、最初にyで積分しようが、計算量はそれほど変わらないけれど、複雑な関数の計算だと計算量がかなり違う場合があるケロ。
なお、問題２は
として計算したほうがいくらか計算は楽になると思うにゃ。こう分けると、③式より
となり、ほとんど暗算で計算できる。
問題３
【解】
K=[0,1]×[0,1]ね。
この問題は
で計算しようとすると、大変なことになる。
