第２回 重積分の計算

第２回　２重積分の計算

第１回でやった２重積分の定義から積分の値を求めるのは至難の業なので、とりあえず、証明なしで次の定理を受け入れてもらうことにするにゃ。

定理３（区間上の２重積分の累次化）

関数f(x,y)が閉区間K=[a,b]×[c,d]で連続ならば、　　

ここで注意して欲しいのだけれど、累次積分と２重積分を区別するために

　　

と書いたりもするにゃ。

そして、

　　
と書いたりする。

誤解を招きやすい表記法なので、ねこ騙し数学では、こういう表記法を極力使わないことにして、括弧をつけた表記法を使うことにするにゃ。

K=[a,b]×[c,d]上の連続関数f(x,y)が[a,b]で定義される連続な関数φ(x)、[c,d]で定義される連続な関数ψ(y)で

f(x,y)=φ(x)ψ(y)とｘの関数φ(x)とyの関数ψ(y)であらわされるとき

　　

となるにゃ。
　―――１変数関数の積分のタダの積になる―――

これは、この２重積分を累次化すると

　　

となり、はｙを含まない定数なので、この部分はyに関する積分記号の外に出せるので

　　

となることから分かる。

わかりづらかったら、③の変形の時に

　　
とおけばいいにゃ。

そうすると、

　　

となり、このAを元に戻せば③になるにゃ。

問題１　K=[0,1]×[0,1]のとき、次の値を求めよ。

　　

【解】

②式を使うならば、

　　

となる。

①式を使うならば、

　　

となる。これはxに関する積分を最初に計算したけれど、

　　

として計算してもいい。

問題２K=[0,1]×[0,1]のとき、次の値を求めよ。

　　

【解】

　　

あるいは、

　　

これくらいならば、最初にxで積分しようが、最初にyで積分しようが、計算量はそれほど変わらないけれど、複雑な関数の計算だと計算量がかなり違う場合があるケロ。

なお、問題２は

　　

として計算したほうがいくらか計算は楽になると思うにゃ。こう分けると、③式より

　　

となり、ほとんど暗算で計算できる。

問題３

　　

【解】

K=[0,1]×[0,1]ね。

　　
この問題は

　　で計算しようとすると、大変なことになる。

---