第８回 極座標変換

 第８回　極座標変換

極座標(r,θ)といわゆるxy平面のデカルト直交座標とは次の関係がある。

　　

前回、極座標の場合ヤコビアンJ

　　

になるという話をしたにゃ。

だから、次の関係が成り立つ。

定理８（極座標への変換）

Dをxy平面上の積分領域とし、関数f(x,y)は連続関数とする。Dが極座標変換によってrθ平面のEに１対１にうつされるとき、次の関係が成り立つ。

　　

 

一番わかり易いのは、Dが原点を中心とする半径aの円周とその内部の領域、つまり、

　　

の時、これは極座標平面の

　　

になる。

ということで、早速、問題を。

問題１

　　

【解】

x=rcosθ、y=rsinθとおき、極座標変換すると、極座標平面におけるEは

　　

となるので、

　　

で、とおくと

　　

となるので、

　　

よって、

　　

となる。

問題２

　　

【解】

これは極座標変換によってEは次のようになる。

　　

だから、

　　

となる。

問題１の時のように

　　

と真面目に計算してもいいけれど、｛｝の中のはθに関する積分の計算に直接関係しないので、問題２の【解】の計算のようにｒとθを分離して計算してもいい、この方が計算がすこし楽になる。

半径aの円の中心が必ず原点であるという保証はないケロ。たとえば、次の問題。
問題３

　　

【解】

極座標変換によってDは
　　

となる。

よって、
　　

で、

　　

となるので、

となる。