第７回 変数変換

第７回　変数変換

１変数関数の積分で置換積分をやったにゃ。α≦t≦βで定義された関数φが滑らかで単調な関数でかつx=φ(t)、a=φ(α)、b=φ(β)であるとき、

　　

になるというヤツだにゃ。

この置換積分のようなものが２重積分にも存在するという話。

級の関数φ、ψがあって、x=φ(u,v)、y=ψ(u,v)であるとき、

　　

という謎の量、ヤコビアンというものを定義する。

ちなみに、

　　

このヤコビアンなる謎の量を導入すると、次のようになるにゃ。

定理７

Dをxy平面の積分領域とし、f(x,y)はDで連続とする。級の変換x=φ(u,v)、y=ψ(u,v)によりDがuv平面のEに１対１に対応するとする。このヤコビアンがJ≠0であるならば、

　　

である。

証明は結構大変なので、これも天下り的に受け入れてもらうことにするにゃ。

感覚的に受け入れてもらうことにするケロ。

かりに、x=2u、y=2vという変換があり、xy平面上の0≦x≦1、0≦y≦1という領域Dがuv平面の領域Eにうつされたとするにゃ。

そうすると、x=2u、y=2vなのだから、これは0≦u≦1/2、0≦v≦1/2になる。で、uv平面上のEの面積を計算すると、1/2×1/2=1/4。面積が変わっている。だから、uv上で積分する場合、面積を４倍しないといけない。

で、このヤコビアンを計算すると、

　　

なので、これを掛けてやると、面積の辻褄が合うというわけ。

つまり、一般に図形を変換すると元の図形と面積が変わってしまうので、面積の辻褄合わせをしないといけない。それがヤコビアンという量という。

たとえば、原点を中心とする半径aの円の内部と円周の領域D

　　

があるとする。この図形の面積はだにゃ。

これをx=rsinθ,y=rcosθという極座標を用いて(x,y)→(r,θ)に変換する。

そうすると、xy平面のDはrθ平面上の0≦r≦a、0≦θ≦2πという長方形のEに変換される。このuv平面上のEの面積を求めると、2πaなので、元の面積と変わってしまっている。

　　

だから、面積の辻褄合わせが必要。

そこで、ヤコビアンを求めてみる。

　　

になるので、

　　

となり、DとEの面積が一致する。

ちなみに

　　

だにゃ。

また、定理７より

　　

これは公式のようなものだから、覚えておいたほうがいい。

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