第９回 ２重積分の演習１

第９回　２重積分の演習１

重積分に関しては、とにかく計算ができないことには始まらないので、問題を幾つか解くことにするにゃ。

問題１　次の重積分の値を求めよ。

　　

[解】

Dは縦線集合なので

　　

また、Dを横線集合と考えるならば、

　　

となる。

問題２　次の積分の順序を交換せよ。

　　

【解】
（１）積分領域Dは

　　

図を見るとわかるけれど、これを横線領域で書くと、

　　

になる。

よって、

　　

になる。

ちなみに、

　　

は、y=cosxの逆関数。

（２）積分領域Dは

　　

これを横線集合に書き換えると、

　　

になるので、

　　

問題３　次の重積分を極座標に変換して求めよ。

　　

【解】

（１）x=rcosθ、y=rsinθと座標変換すると、ヤコビアンJ=rとなる。また、Dは次のようにｒθ平面に写される。

　　

よって、

　　

ここで、

　　

よって、

　　

これ↓くらいは、暗算でできる―――と言うか、見ただけで答が分かる―――ようになってもらわないと困る。

　　

なのだが、この問題はもっと簡単に計算できる。この場合、

　　

だから、

　　

上の計算では、三角関数の倍角公式

　　

を使っているよ。

ちなみに、ネムネコはこの公式を覚えておらず、使うとき、その場で導く(^^ゞ

数学の公式なんて覚えるもんじゃないにゃ。覚えるとバカになる。そもそも覚えていないから、何年経っても忘れない(^^)