第５回 行列と行列式

第５回　行列と行列式

高校で習う数学についてまったく知らないので、高校で行列を習っていない人がいるかもしれない。ということで、２×２の正方行列についてちょこっとやるにゃ。

２次の正方行列Aとは

　　

という４つの数の組みたいなものだにゃ。

より一般のm×nの行列は次のようになる。

　　

特にn=mの場合、n次の正方行列という。

で、横の並びを行、縦の並びを列といい、そのi行ｊ列の成分というふうに書くにゃ。一々成分を書くのは大変なので、と略記するにゃ。

列ベクトル、行ベクトル

1×n行列をn次元行ベクトル、m×1行列をm次元列ベクトルという。

平面ベクトルやを1×2、1×3の行列を用いてとあらわしたり、列ベクトルを用いて

　　

とあらわしたりするにゃ。

行列の相等

次のような２次の正方行列A、Bがあるとする。

　　

この行列AとBの成分、

　　

であるとき、AとBは等しいといい、A=Bと書く。

より一般の行列m×n行列の場合は、i=1〜m、j=1〜nのすべてのi、ｊに対してであるとき、A=Bとなる。

 

行列の和と差

同じ型の２つの行列においてをi-j成分とする行列をAとBの和といい、A+Bであらわす。

2×2の正方行列の場合、

　　

となるにゃ。

上の結果を見れば明らかだけれど、行列の足し算に関して交換法則、つまり、A+B=B+Aが成り立つ。一般の場合も、

　　

となるので和に関して交換法則が成り立つにゃ。

においてをi-j成分とする行列をA–Bであらわすにゃ。

2×2の正方行列の場合

　　

となる。

行列の実数倍

　　
そして、kA=Akは、ほとんど明らかでしょう。

このあたりまでは取り立てて難しくないと思うケロ。ただし、行列同士の積となると少し事情が異なってくる。

 

行列の積

m×lの行列とl×ｎの行列の行列のi-j成分を

　　

で定義するんだケロ。m×lとl×nの行列の積は、m×nの行列になる。これをABと書く。

特に、2×2の正方行列の場合、

　　

となるにゃ。

そして、2×2の行列と2×1の行列（列ベクトル）の積は2×1の行列（列ベクトル）になる。

　　

となるにゃ。

さらに、1×2の行列（２列の行ベクトル）と2×1の行列（２行の列ベクトル）との積は1×1の行列（スカラー）になるにゃ。

　　

これは、ベクトル(p,q)とベクトル(r,s)の内積になっている。
そして、
　　

ちなみに、行列同士の積に関しては交換法則、つまり、AB=BAは一般に成り立たない。

零行列と単位行列

すべて成分が０である行列を零行列といい、Oであらわす。

たとえば、

　　

などなど。

単位行列とは、

　　

を成分とする正方行列のことで、記号EやIであらわすにゃ。

2×2の正方行列ならば、

　　

となる。

逆行列

AとXを正方行列とする。で、AX=XA=IとなるXが存在するとき、このXをAの逆行列といい、という。

　　

のとき、

　　

となる。

ad–bc=0のときは逆行列は存在しない。

あくまで２次の正方行列の場合だけれど、このad–bcを行列式といい、det(A)や｜A｜
であらわす。

　　

と書いたりもするにゃ。

行列式は２次以上の正方行列の場合でも定義できるけれど、２次の正方行列の行列式のように簡単に計算できないんだケロ。

行列を用いた連立２次方程式の解法

　　

となるので、

　　

そして、行列式が0でなければ、逆行列の定義より

　　

となり、連立２元方程式の解が一意に求められる。

で、ad–bc=0とはどういうことなのかというと、

　　

となるので、直線ax+by=pとcx+dy=qが平行ということ。

そして、さらにp=kqのときax+by=pはk(cx+dy)=kqになるのでk≠0ならば、両辺をkで割るとcx+dy=qとなり、ax+by=pとcx+dy=qは同じ直線になる。同じ直線なので解（２直線？の交点？）は無数に存在し、一つに定まらない。したがって、不定。

で、p≠kqのときは、相異なる平行な直線なので、解は無いにゃ。

粗い議論だけれど、そういう話になるにゃ。