第１１回 広義２重積分の計算２

第１１回　広義２重積分の計算２

前回まで広義積分とは異なるタイプの計算をすることにしますにゃ。

問題１　次の広義積分の値を求めよ。

　　

【解】

この問題は、原点だけ取り除いてあるにゃ。

　―――原点で被積分関数が不連続！！―――

D上で1/(x+y)≧0。

次のような増加近似列を考える。

　　

そうすると、

　　

となる。

よって、

　　

となる。

やは存在しないのに、上の積分は存在する。不思議だと思わない？

 

問題２　次の広義積分の値を求めよ。

　　

【解】

という形が出たら、極座標に座標変換しろと言っているようなもの・・・。

さて、これは次のような近似増加列を考える。

　　

で、お決まりのx=rcosθ、y=sinθとおいて極座標変換する。

　　

そして、

　　

でだ、

　　

になるので、

　　

になる。だから、

　　

ということで、

　　

になる。

　　

になるのは、これまでに何度も証明しているケロ。ロピタルの定理を使ってずるしてもいいにゃ。

で、

　　

だから、ハサミ打ちの定理を使って、

　　

ちなみに、はDで負値関数。

問題３

　　

【解】

D上で。そして、次のような増加近似列を考える。

　　

で、

　　

よって、

　　

なのですが、実際に計算するときはこんな面倒なことをせず、たとえば問題１ならば、

　　

と計算するにゃ。