第１０回 広義２重積分

第１０回　広義２重積分

近似増加列
近似増加列の定義

次を満たす面積確定の有界閉集合の列をDの近似増加列という。

（１）
（２）Dに含まれる任意の有界閉集合Kに対してとなる自然数nが存在する。

たとえば、

　　

とし、

　　

とすれば、（１）と（２）の条件を満たすので近似増加列になっている。

さらに、用語の説明を続ける。

正値関数とその広義積分

関数f(x,y)がD上でf(x,y)≧0を満たすとき、f(x,y)をD上で正値関数という。−f(x,y)が正値関数であるとき、f(x,y)を負値関数といい、この２つを合せて定符号関数という。

f(x,y)をD上で連続な正値関数、をD上の任意の近似増加列とする。
このとき、
　　
が上に有界だとすると、これはnに関して単調増加なので収束する。

そこで、

　　

をf(x,y)のD上における広義２重積分という。この極限が存在するときに広義積分は収束するといい、収束しないとき発散するという。

正確に言うと、上の定義は正値関数の２重積分だけれど。

で、収束するのはいいけれど、この極限値が近似増加列のとり方によって変わってもらっては困る。①が意味をもつのは、極限値が近似増加列のとり方によらない必要がある。

定理
f(x,y)はD上の正値関数とする。このとき、D上の増加近似列、に対して

　　

である。

この定理によって、正値関数の広義積分の一意性が保証される。

ということで、早速、問題を解いてみるにゃ。

問題１

　　

【解】

これだとピンとこないかもしれない。

　　

ということです。

D上でだから正値関数。そして、次のような増加近似列を考える。

そうすると、

となり、n→∞とすれば、１になる。よって、

となる。

そして、超有名な次の積分をやる。

問題２

　　

【解】

この積分は

　　

のこと。

D上でだケロ。

で、次のような近似増加列を作る。

　　

x=rcosθ、y=rsinθで極座標変換すると、これは次のようになる。

　　

そうすると、

　　
になる。

よって、

　　

になる。

それでだ、

　　

だから、

　　

さらに、は偶関数なので、

　　

となる。

物理や統計によく出てくる積分だケロ。