第６回 少しだけ一次変換

第６回　少しだけ一次変換

１次変換

x'=ax+by、y'=cd+dy・・・①によって、点P(x,y)と点P'(x',y')との関係を定めると、平面座標上の点の集合R×RからR×Rへの写像が与えられる。このような写像を１次変換といい、①を変換式という。

これを行列であらわすと

　　

となる。

行列

　　

によって定まるから、行列Aは１次変換をあらわす行列といい、簡単に１次変換Aということがある。

で、

　　

とおき、基本ベクトル

　　

のAによる像を求めると、

　　

となる。

で、行列式det(A)=ad–bc≠0のときaとbは平行ではなく、この２つのベクトルaとbで作られる平行四辺形の面積は

　　

となる。

Aで１次変換すると、その像の面積は|ad–bc|倍になるんだケロ。

じゃあ、行列式が０の時はどうなるか。

　　

の場合を調べてみるにゃ。

　　

となるので、

　　

となって、平面上の点はすべて原点Oと点(1,2)を結ぶ直線上に存在することになる。

零行列の時は像はすべて原点だにゃ。

だから、行列式の値が０のとき、全平面は原点を通る直線、または平面上の原点にうつされると予想できるにゃ。

これで終わるのもなんなので、ついでにもう少し１次変換に関する話をするにゃ。

問題１

１次変換

　　

によって、直線l上の点は、すべてこの直線上にうつされた。この直線の方程式を求めよ。

【解】

自分自身にうつされる直線のことを不動直線というにゃ。

直線の方程式をy=mx+n、この直線上の点を(t,mt+n)とする。

　　

この点((1–2m)t–2n,−3t)
は直線l:y=mx+n上にあるので、

　　

これはすべてのｔについて成立するので、

　　

②式より

　　

で、1–2m≠0だから、③式の両辺を1–2mでわると、n=0

よって、

　　

ここで終わっちゃ〜いけないにゃ。

x=c（cは定数）も直線だからね。ということで、この直線上の点を(c,s)とすると、

　　

にうつされるけれど、これではy=−3cになってしまうので、不適。

だから、y=3x/2とy=−xが答。

問題２

零ベクトルでないが１次変換によってに平行なベクトルにうつされるとき、はどのようなベクトルか。

【解】

に平行なベクトルとはとあらわすことができる。

ということで
　　

で、左辺の行列式の値が0でないとx=0、y=0が解になってしまうので、行列式の値は０ではない。

　　

この２次方程式をとくとk=2、5となる。

ということで、

k=2のときは④より

　　

よりx+y=0となり、y=−x。

k=5のときは
　　

になるので、x–2y=0となり、x=2yになる。

ということで、求めるベクトルは
　　

となる。xとｙのままだとなにかと誤解されやすいので、それぞれs、ｔにすると、

　　

ここで、ｓとｔは任意の定数。

このkのことをAの固有値といい、そして、こういうベクトルのことをAの固有ベクトルという。

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