お前らに質問 （近似値 １月１５日） [お前らに質問]
お前らに質問 （近似値 １月１５日）
YouTubeに、
の近似値を求めよ、という動画があったので、お前ら、この近似値を求めるにゃ。
ただし、ネイピア数e=2.71828・・・って値を使っちゃ〜ダメだケロよ。
念のために言っておくけれど、これは常用対数
じゃなく、自然対数
だからね。
たとえば、
だから、中点公式
を用いると、
って感じになるわな〜。
だから、積分区間[1,2]を2分割した[1,3/2]と[3/2,1]にそれぞれ中点公式を用いると、
とかね…。
シンプソン法
を使うと…。
さらに、被積分関数1/xを
と変形し、
と無限級数にし、これを[1,2]で積分するとか(^^)。
この無限級数は1≦x≦2のとき、
だから、
に収束する！！
てなわけで、
さっ、張り切って、
この計算をしてもらいましょうか。
たぶん、この計算は、
として、置換積分すると、ずっと楽になるはず！！
ちなみに、４次までしか取っていないけれど、これ、５次の項をとっても、値は変わらないケロよ。
何故だろうか？
さらに、６次の項まで計算すると
となって、
とほとんど一致する。
ネムネコの指示に従うなんてまっぴらゴメンだ。
だから、オレは
とし、区分求積法を用いて
と計算する！！
なるほどね〜。
でも、これは計算が大変な割に、先に中点公式を用いて求めた近似値0.667とさして変わらない。
下の図を見ると、この方法が賢明でないことがすぐにわかる。
その反骨精神、心意気は買うけれど…。
それはそれとして、
対数が発見されて間もなく対数表が作られたらしいけれど、昔の人はどうやって対数の値を求めたんだろうね。
(参考記事） ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について
https://is.gd/WuNPfi
第５４回 一様収束する関数列の性質 [微分積分]
第５４回 一様収束する関数列の性質
定理１ （連続性）
区間Iで連続な関数列
がf(x)に一様収束するならば、f(x)はIで連続である。
【証明】
はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε/3>0に対して、ある自然数
が存在し、任意のx∈Iに関して、
a∈Iとすると、
は点aで連続なので、任意の正数ε/3>0に対して、ある
があって、
したがって、任意のε>0に対して、
にすると、
（証明終）
問１ 次の関数列は各点で収束するが、一様収束でないことを示せ。
【解】
（１） 任意の自然数nに対して
は[0,1]で連続だが、その極限関数
は[0,1]で連続でないので、は一様収束でない。
（２） 任意の自然数nに対しては[0,∞)で連続であるが、その極限関数
は[0,∞)で連続でないので、は一様収束でない。
（解答終）
で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束し、また、f(x)=0はx≧0で連続であるが、
はf(x)=0に一様収束しない。
したがって、この定理の逆は成立しない！！
問２ で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束するが、はf(x)=0に一様収束しないことを示せ。
【解】
x=0のとき、任意の自然数nに対して
。
また、x>0のとき
だから、は定数関数f(x)=0に収束する。
関数の増減を調べるためにを微分すると、
となるから、はx=1/nのときに極大かつ最大。
また、
だから、
ゆえに、
よって、はx≧0でf(x)=0に一様収束でない。
（解答終）
定理２ （定積分）
有界閉区間I=[a,b]で連続な関数列がIでf(x)に一様収束するならば、
【証明】
連続な関数列が[a,b]でf(x)に一様に収束するので、定理１より、f(x)は[a,b]で連続であり、積分可能。
また、はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε>0に対して、
したがって、
（証明終）
問３ 
とするとき、関数列は定数関数f(x)=0に一様収束する。このとき、
が成り立つことを確かめよ。
【解】
したがって、
（解答終）
問４ 関数列の極限関数をf(x)とするとき、次の関数列はが成り立つか。
【解】
（１）
また、極限関数は
だから、
よって、
（２）
また、極限関数はf(x)=0だから
（解答終）
したがって、一般に、この定理も逆が成立しないことがわかる。
問５
で定められる関数列について、次の問に答えよ。
（１） 関数列は[0,∞)で一様収束であることを示せ。
（２） 
は成り立つか。
【解】
（１） x∈[0,∞)について
であるから、
だから、ハサミ打ちの定理より
また、
だから、はf(x)=0に一様に収束する。
（２）
一方、
だから、
（解答終）
定理３ （微分）
区間IでC¹級な関数列がI上でf(x)に各点収束し、さらに、
がI上でg(x)に一様収束するならば、
【証明】
a∈Iとし、aを固定すると、
はIで連続なので、
また、はf(x)に各点収束し、はg(x)に一様収束するので、定理２より
g(x)はIで連続なので、
よって、f(x)はI上で微分可能で
（証明終）
お前らに質問（関数列の収束 １月１３日）の解答例 [お前らに質問]
お前らに質問（関数列の収束 １月１３日）の解答例
定義 （一様収束）
関数列
と関数f(x)はIで定義されているとする。
任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、
を満たすとき、関数列は一様収束するという。
定理 （一様収束の必要十分条件）
関数列がI上で関数f(x)に一様収束する必要十分条件は
この定理を一様収束の定義にするものもある。
ここに出る
なる記号は、x∈Iにおける
の上限を表すのだけれど、「上限なんてわからない、知らない」というヒトは、とりあえず、x∈Iにおけるの最大値（のようなもの）だと思って欲しい。
問題１ x≧0とするとき、次の関数列は一様収束か。
【解答例】
_graph_01-7244f.png)
（１） とおくと、
x=0のとき、。
x>0のとき、
よって、関数列の極限関数f(x)は、
の増減を調べるために微分すると、
よって、x=1/nのときに、は極大かつ最大で、その最大値は
ゆえに、
したがって、は一様収束でない。
_graph_02-e8c92.png)
（２） 
とおくと、
x=0のとき、
x>0のとき、
したがって、極限関数f(x)は
の増減を調べるために、微分すると
よって、は
のときに極大かつ最大で、最大値は
したがって、
ゆえに、は一様収束。
（解答終）
（１）は、
ε=1/eとすると、どんな自然数Nを与えても、x=1/Nにとると、
となるのでは一様収束でない
としてもいい。
_graph_003.png)
問題２ 次の関数列は一様収束か。
【解答例】
x=0のとき、
だから、
x>0のとき
したがって、極限関数f(x)は
また、
なので、はx≧0でf(x)に各点収束するが、一様収束しない。
（解答終）
【別解１】
ε=1/eとすると、どんな自然数Nを与えても、x=1/Nにとると、
よって、は一様収束でない。
（別解１終）
別解１では、x=1/Nとしているけれど、x=2/Nにとってよい。
このとき、
になるので、自然数Nをどんなに大きくしても、ある一定の正の実数（この場合は1/e²）を決して下回らない点が少なくとも１つx≧0に存在することを示せれば、それだけで問題２の関数列が一様収束でないことの証明で十分なんだケロ。
【別解２】
に属するはx≧0で連続であるが、極限関数f(x)はx≧0において連続でない。よって、はx≧0において一様収束でない。
（別解２終）
定理
連続関数列がIで極限関数f(x)に一様収束するならば、f(x)はIで連続である。
この定理から、が連続で、極限関数f(x)が連続でなければ、は一様収束でないことになる。
そして、問題１の（１）は極限関数が連続なのでこの定理は使えないけれど、一様収束か否かを問う多くの問題は、この定理で片がつくのであった(^^)。
この他に、一様収束の定義にしたがって、
x>0のとき、
任意のε>0に対して
したがって、
任意のε>0に対して
とすると、
よって、は一様収束でない
とすることもできる。
お前らに質問（関数列の収束 １月１３日） [お前らに質問]
お前らに質問（関数列の収束 １月１３日）
数列や関数列の収束に関する記事では、
といった記号が数式中の至るところで登場するので、So-netブログの１記事１０万字以内という制限にすぐに抵触し、このため、どうしても、問題数が制限されてしまう。
というわけで、
お前らには、次の問題を解いてもらおうじゃないか。
念のため、一様収束の定義！！
定義 （一様収束）
関数列と関数f(x)はIで定義されているとする。
任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、
を満たすとき、関数列は一様収束するという。
定理 （一様収束の必要十分条件）
関数列がI上で関数f(x)に一様収束する必要十分条件は
この定理を一様収束の定義にするものもある。
ここに出るなる記号は、x∈Iにおけるの上限を表すのだけれど、「上限なんてわからない」というヒトは、x∈Iにおけるの最大値だと思って欲しいにゃ。
問題１ x≧0とするとき、次の関数列は一様収束か。
（２）には、ちょっと読みづらいかもしれないので
だケロよ。
この問題を解くには、
x≧0で定義された関数列の極限関数f(x)をまず求め――極限関数f(x)=0です！！――、
それから、
の最大値
を求めて、
という極限を計算し、それが0ならば一様収束、０でなければ各点収束ということになる。
と書いても、お前らはやらない可能性が高いので、f(x)=0で、
ともに非負だから、
となるので、x≧0における最大値はx≧0におけるの最大値に等しい。
ここまで丁寧に書いたのだから、問題１はちゃんとやれよな。
上限がわかるヒトは、さらに、次の問題を解くにゃ。
問題２ 次の関数列は一様収束か。
のグラフまで書いているから、もう、答を教えているようなものだけれど…。
第５３回 一様収束 [微分積分]
第５３回 一様収束
前回の関数列の（各点）収束の復習を兼ねて、関数列の各点収束の定義を再掲する。
定義 （各点収束）
任意の正数ε>0と任意のx∈Iに対して、ある自然数N(x,ε)が存在して、n≧N(x,ε）を満たす任意の自然数nに関して、
が成り立つとき、関数f(x)を関数列
の極限関数といい、関数列はIで関数f(x)に各点収束するという。
各点収束の代表例として
で与えられる関数列があり、その極限関数は
である。
0<x<1の場合、任意のε>0に対して、
とすれば、
x=0の場合、任意のε>0に対し、
に定めれば、
x=1の場合、 任意のε>0に対し、
に定めれば、
3Dxe5E(-nx)-graph.png)
一方、
で与えられる関数列も
に各点収束するが、任意のε>0に対して、点xの値に無関係に、
と定めると、任意のx≧0の点で
が成立する。
定義 （一様収束）
関数列と関数f(x)はIで定義されているとする。
任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、
を満たすとき、関数列は一様収束するという。
これを論理記号で書くと、
であるから、がf(x)に一様に収束しないとは、これを否定するばよい。
すなわち、
したがって、
あるε>0が存在し、どのような自然数Nを与えても、
を満たす点x∈Iが存在すれば、はf(x)に一様に収束しないことになる。
3D1C3B7(nx)-graph.png)
問１ 
とするとき、は一様収束するか。
はどうか。
【解】
任意のx>0に関して
なので、は
に各点収束。
ε=1とし、任意の自然数Nに対しx=1/N∈(0,∞)にとると、
よって、は一様収束ではない。
の極限関数
。
任意のε>0に対して、
よって、
にとれば、
（解答終）
もちろん、
任意のε>0に対して、
になるためには、
でなければならない。
よって、任意の正数ε>0に対して、
とすれば、
よって、は0に各点収束するが、一様に収束しない。
としてもよい。
定理 （一様収束の必要十分条件）
関数列がI上で関数f(x)に一様収束する必要十分条件は
【証明】
I上ではf(x)に一様に収束するので、任意のε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在し、任意のx∈Iかつ任意のn≧N(ε)に関して、
が成立する。
逆に、のとき、
任意のx∈Iに対して、
が成り立つので、
よって、はf(x)に一様収束する。
（証明終）
問２ 次の関数列は各点収束するが、一様に収束しないことを示せ。
【解】
（１）
よって、は0に各点収束する。
したがって、は、
で極小かつ最小、
で極大かつ最大。
よって、
ゆえに、
なので、は一様収束でない。
3DnxC3B7(12Bn5E2x5E2)-graph-13d74.png)
（２）
したがって、はf(x)=xに各点収束する。
だから、は一様収束でない。
（解答終）
【別解】
（１） ε=1/2>0とすると、任意の自然数Nに対して、x=1/Nとすると
したがって、一様収束でない。
（２） ε=1>0とすると、任意の自然数Nに対して、x=Nとすると、
よって、一様収束でない。
（別解終）
問３ 次の関数列が一様収束することを示せ。
【解】
（１） 0<a<1だから
よって、極限関数f(x)=0。
また、
よって、
はf(x)=0に一様収束する。
（２）
よって、はx=1/nのとき極大かつ最大。
また、
だから、
ゆえに、ハサミ打ちの定理より
また、
だから、は極限関数f(x)=0に一様に収束する。
（解答終）
さて、I=[0,1)とし、はIで定義されているとすると、
となるので、はIで一様収束でない。しかし、問３の（１）より、0<a<1とするとき、任意の閉区間J=[0,a}で一様収束する。このように、Iでは一様収束でないが、Iに包まれる任意の閉区間J（J≠I）で一様収束する場合がある。
定義 （広義一様収束）
区間Iで定義された関数列がI内の任意の閉区間Jでf(x)に一様に収束するとき、はf(x)に広義に一様収束するという。
定義から、関数列がIで一様収束すれば、Iで一様収束する。しかし、この逆は成立しないので注意。
お前らに質問（数列・級数の収束 １月１２日） [お前らに質問]
お前らに質問（数列・級数の収束 １月１２日）
いい解答を思いつかないので、お前らに次の問題の解答（回答）を募集するにゃ。
問題１ 
とするとき、数列
の極限値は１と1/2の間にあることを示せ。
どんな方法でもいいというのならば、
たとえば、積分を使って
であり、
だから、ハサミ打ちの定理より
そして、1/2< log 2 <1だから…。
なんで、ここで、いきなり積分が出るかわからないって？
それは、
で、
となるからだよ（下図参照）。
あるいは、
だから、は（狭義）単調減少列。
さらに、任意の自然数nに対して
となるので、1/2はの下界（「げかい」ではなく「かかい」と読むにゃ！！）。
したがって、は下に有界な（狭義）単調減少列なので収束する。
また、
だから、
ゆえに、
しか〜し、
この問題は
であることを示せだから、これじゃ〜ダメなんだケロ。
なお、ここでは、数列の極限に関する次の定理を使っている。
定理 （有界な単調数列）
上に（下に）有界な単調増加（減少）数列は収束する。
定理 （数列の大小と極限値）
ならば
いい解答を思いつかず、途方に暮れているにゃ。
そこで、お前らから、いい回答を募集ってワケ。
ちなみに、
nを自然数とするとき
が成立するらしいケロよ。
で、
をマクローリン展開すると
ちょっとインチキが入るけれど、
これを[0,1]で積分すると、
ということで、
お前らは次の問題も解くにゃ。
問題２ （数学的帰納法を用いて）次のことを示せ。
募集している問題１の回答は、初等的な微分積分の範囲程度（たとえば、このブログの微分積分入門程度）のもので、数学が得意な高校３年生が読んで理解できる範囲なものなので、この点を守るように！！
解けた奴は、この記事のコメント欄にその回答を書き、ネムネコのもとに送信するにゃ。
第５２回 関数列とその収束 [微分積分]
第５２回 関数列とその収束
3Dx5En-graph.png)
自然数n=1,2,3,・・・に対し
と関数を定めると、１つの関数の列、関数列
が定まる。
任意の点x∈[0,1]から一つ選び、その値を固定すると
そこで、
とすると、
と表すことができる。
定義 （各点収束）
関数列と関数f(x)に対して、任意の点x∈Iを固定したときが収束し、
であるとき、関数f(x)を関数列の極限関数といい、関数列はIで各点収束するという。また、Iを関数列の収束域という。
イプシロン・デルタ論法で表わせば、
任意の正数ε>0任意のx∈Iとに対して、ある自然数N(x,ε)が存在して、n≧N(x,ε)を満たす任意の自然数nに関して、
が成り立つとき、関数f(x)を関数列の極限関数といい、関数列はIで関数f(x)に各点収束するという。
論理記号を用いるならば、
なお、ここで、N(x,ε)は、xとεの関数の意味ではなく、xとεに依存する程度の意味であることに注意。
例えば、
で定まる関数列の場合、
x=0、x=1の場合、任意のε>0に対して、任意の自然数nで、
一方、0<x<1の場合、
中辺と右辺の対数を取ると、
よって、
を満たす自然数Nを選び、それをN(x,ε)にする必要がある。
したがって、0<x<1のとき、
任意のε>0に対し、
とすれば、
問１ 次の関数列は（各点）収束するか。収束するとき、極限関数を求めよ。
【解】
3D1C3B7(12Bx5E(2n))-graph-88048.png)
（１） −1<x<1のとき、0≦x²<1だから
。
よって、
x=±1のとき、
x<−1、x>1のとき、1<x²だから
したがって、各点収束し。極限関数は
3Dxe5E(-nx)-graph-6d29a.png)
（２） の増減を調べるために、を微分すると、
したがって、はx=1/nのとき、極大、かつ、最大で
また、
よって、
だからハサミ打ちの定理より
よって、関数列
は各点収束し、極限関数は
である。
-graph-003-da8a8.png)
（３） 任意の自然数nに対してなので
。
0<x≦1のとき、
である自然数Nを選ぶと、
が成立するので、
。
したがって、極限関数f(x)は
（解答終）
問の（１）、（２）の関数列に属する全ての関数は、定義域内で、連続、積分可能であり、微分可能である。
しかし、問の（１）の関数列の極限関数f(x)はx=0、x=±1で不連続で微分可能でなく、関数列の性質を引き継いでいない。
これに対し、（２）の関数列の極限関数f(x)は、定義域で、連続、積分可能であり、微分可能で、関数列の性質を受け継いでいることがわかる。
問２ 
とするとき、
は成立するか。
【解】
関数列の極限関数をf(x)とすると、
だから、
よって、
（解答終）
問３
とするとき、
は成立するか。
【解】
関数列の極限関数は
だから、
よって、
（解答終）
お前らに質問 （数列と級数の収束 １月１０日） [お前らに質問]
お前らに質問 （級数の収束 １月１０日）
これからこういった話をしたいので、お前らに簡単な問題を少し出題するにゃ。
こうした話をするために、その準備として、昨年末に、数列と無限級数のしたんだケロよ。
ネタに困って、書いたわけじゃないにゃ。
問題１ 次の極限を求め、その結果をグラフで表わせ。
参考までに、
とし、nを１〜２０まで変化させたときのグラフは次のようになるにゃ。
もう、答を教えているようなものだが…。
問題２ 次の無限級数の和を求め、その結果をグラフで表わせ。
問題２は、ただの無限等比級数の問題だから、いくら⑨のお前らでも簡単に求められるだろう。
無限等比級数の和
ただし、0⁰=1とする。
