第５４回 一様収束する関数列の性質 [微分積分]
第５４回 一様収束する関数列の性質
定理１ （連続性）
区間Iで連続な関数列
がf(x)に一様収束するならば、f(x)はIで連続である。
【証明】
はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε/3>0に対して、ある自然数
が存在し、任意のx∈Iに関して、
a∈Iとすると、
は点aで連続なので、任意の正数ε/3>0に対して、ある
があって、
したがって、任意のε>0に対して、
にすると、
（証明終）
問１ 次の関数列は各点で収束するが、一様収束でないことを示せ。
【解】
（１） 任意の自然数nに対して
は[0,1]で連続だが、その極限関数
は[0,1]で連続でないので、は一様収束でない。
（２） 任意の自然数nに対しては[0,∞)で連続であるが、その極限関数
は[0,∞)で連続でないので、は一様収束でない。
（解答終）
で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束し、また、f(x)=0はx≧0で連続であるが、
はf(x)=0に一様収束しない。
したがって、この定理の逆は成立しない！！
問２ で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束するが、はf(x)=0に一様収束しないことを示せ。
【解】
x=0のとき、任意の自然数nに対して
。
また、x>0のとき
だから、は定数関数f(x)=0に収束する。
関数の増減を調べるためにを微分すると、
となるから、はx=1/nのときに極大かつ最大。
また、
だから、
ゆえに、
よって、はx≧0でf(x)=0に一様収束でない。
（解答終）
定理２ （定積分）
有界閉区間I=[a,b]で連続な関数列がIでf(x)に一様収束するならば、
【証明】
連続な関数列が[a,b]でf(x)に一様に収束するので、定理１より、f(x)は[a,b]で連続であり、積分可能。
また、はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε>0に対して、
したがって、
（証明終）
問３ 
とするとき、関数列は定数関数f(x)=0に一様収束する。このとき、
が成り立つことを確かめよ。
【解】
したがって、
（解答終）
問４ 関数列の極限関数をf(x)とするとき、次の関数列はが成り立つか。
【解】
（１）
また、極限関数は
だから、
よって、
（２）
また、極限関数はf(x)=0だから
（解答終）
したがって、一般に、この定理も逆が成立しないことがわかる。
問５
で定められる関数列について、次の問に答えよ。
（１） 関数列は[0,∞)で一様収束であることを示せ。
（２） 
は成り立つか。
【解】
（１） x∈[0,∞)について
であるから、
だから、ハサミ打ちの定理より
また、
だから、はf(x)=0に一様に収束する。
（２）
一方、
だから、
（解答終）
定理３ （微分）
区間IでC¹級な関数列がI上でf(x)に各点収束し、さらに、
がI上でg(x)に一様収束するならば、
【証明】
a∈Iとし、aを固定すると、
はIで連続なので、
また、はf(x)に各点収束し、はg(x)に一様収束するので、定理２より
g(x)はIで連続なので、
よって、f(x)はI上で微分可能で
（証明終）
2020-01-15 22:00
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