第５２回 関数列とその収束

第５２回　関数列とその収束

 

 

自然数n=1,2,3,・・・に対し

　　

と関数を定めると、１つの関数の列、関数列が定まる。

任意の点x∈[0,1]から一つ選び、その値を固定すると

　　

そこで、

　　

とすると、

　　

と表すことができる。

 

定義　（各点収束）

関数列と関数f(x)に対して、任意の点x∈Iを固定したときが収束し、

　　

であるとき、関数f(x)を関数列の極限関数といい、関数列はIで各点収束するという。また、Iを関数列の収束域という。

 

イプシロン・デルタ論法で表わせば、

任意の正数ε>0任意のx∈Iとに対して、ある自然数N(x,ε)が存在して、n≧N(x,ε)を満たす任意の自然数nに関して、

　　

が成り立つとき、関数f(x)を関数列の極限関数といい、関数列はIで関数f(x)に各点収束するという。

 

論理記号を用いるならば、

　　

 

なお、ここで、N(x,ε)は、xとεの関数の意味ではなく、xとεに依存する程度の意味であることに注意。

例えば、

　　

で定まる関数列の場合、

x=0、x=1の場合、任意のε>0に対して、任意の自然数nで、

　　

一方、0<x<1の場合、

　　

中辺と右辺の対数を取ると、

　　

よって、

　　

を満たす自然数Nを選び、それをN(x,ε)にする必要がある。

したがって、0<x<1のとき、

任意のε>0に対し、

　　

とすれば、

　　

 

 

問１　次の関数列は（各点）収束するか。収束するとき、極限関数を求めよ。

【解】

（１）　−1<x<1のとき、0≦x²<1だから。

よって、

　　

x=±1のとき、

　　

x<−1、x>1のとき、1<x²だから

　　

したがって、各点収束し。極限関数は

　　

 

 

（２）　の増減を調べるために、を微分すると、

　　

したがって、はx=1/nのとき、極大、かつ、最大で

　　

また、

　　

よって、

　　

だからハサミ打ちの定理より

　　

よって、関数列は各点収束し、極限関数は

　　

である。

 

（３）　任意の自然数nに対してなので。

0<x≦1のとき、である自然数Nを選ぶと、

　　

が成立するので、。

したがって、極限関数f(x)は

　　

（解答終）

 

 

問の（１）、（２）の関数列に属する全ての関数は、定義域内で、連続、積分可能であり、微分可能である。

しかし、問の（１）の関数列の極限関数f(x)はx=0、x=±1で不連続で微分可能でなく、関数列の性質を引き継いでいない。

これに対し、（２）の関数列の極限関数f(x)は、定義域で、連続、積分可能であり、微分可能で、関数列の性質を受け継いでいることがわかる。

 

 

問２　とするとき、

　　

は成立するか。

【解】

　　

関数列の極限関数をf(x)とすると、

　　

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問３　とするとき、

　　

は成立するか。

【解】

関数列の極限関数はだから、

　　

よって、

　　

 

（解答終）