お前らに質問（関数列の収束 １月１３日）

お前らに質問（関数列の収束　１月１３日）

 

数列や関数列の収束に関する記事では、といった記号が数式中の至るところで登場するので、So-netブログの１記事１０万字以内という制限にすぐに抵触し、このため、どうしても、問題数が制限されてしまう。

というわけで、

お前らには、次の問題を解いてもらおうじゃないか。

 

念のため、一様収束の定義！！

 

定義　（一様収束）

関数列と関数f(x)はIで定義されているとする。

任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、

　　

を満たすとき、関数列は一様収束するという。

 

定理　（一様収束の必要十分条件）

関数列がI上で関数f(x)に一様収束する必要十分条件は

　　

 

この定理を一様収束の定義にするものもある。

 

ここに出るなる記号は、x∈Iにおけるの上限を表すのだけれど、「上限なんてわからない」というヒトは、x∈Iにおけるの最大値だと思って欲しいにゃ。

 

 

問題１　x≧0とするとき、次の関数列は一様収束か。

 

（２）には、ちょっと読みづらいかもしれないので

　　

だケロよ。

 

 

この問題を解くには、

x≧0で定義された関数列の極限関数f(x)をまず求め――極限関数f(x)=0です！！――、

それから、

　　

の最大値

　　

を求めて、

　　

という極限を計算し、それが0ならば一様収束、０でなければ各点収束ということになる。

 

と書いても、お前らはやらない可能性が高いので、f(x)=0で、ともに非負だから、

　　

となるので、x≧0における最大値はx≧0におけるの最大値に等しい。

 

ここまで丁寧に書いたのだから、問題１はちゃんとやれよな。

 

 

上限がわかるヒトは、さらに、次の問題を解くにゃ。

 

問題２　次の関数列は一様収束か。

　　

 

 

のグラフまで書いているから、もう、答を教えているようなものだけれど…。