第５３回 一様収束 [微分積分]
第５３回 一様収束
前回の関数列の（各点）収束の復習を兼ねて、関数列の各点収束の定義を再掲する。
定義 （各点収束）
任意の正数ε>0と任意のx∈Iに対して、ある自然数N(x,ε)が存在して、n≧N(x,ε）を満たす任意の自然数nに関して、
が成り立つとき、関数f(x)を関数列
の極限関数といい、関数列はIで関数f(x)に各点収束するという。
各点収束の代表例として
で与えられる関数列があり、その極限関数は
である。
0<x<1の場合、任意のε>0に対して、
とすれば、
x=0の場合、任意のε>0に対し、
に定めれば、
x=1の場合、 任意のε>0に対し、
に定めれば、
3Dxe5E(-nx)-graph.png)
一方、
で与えられる関数列
も
に各点収束するが、任意のε>0に対して、点xの値に無関係に、
と定めると、任意のx≧0の点で
が成立する。
定義 （一様収束）
関数列と関数f(x)はIで定義されているとする。
任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、
を満たすとき、関数列は一様収束するという。
これを論理記号で書くと、
であるから、がf(x)に一様に収束しないとは、これを否定するばよい。
すなわち、
したがって、
あるε>0が存在し、どのような自然数Nを与えても、
を満たす点x∈Iが存在すれば、はf(x)に一様に収束しないことになる。
3D1C3B7(nx)-graph.png)
問１ 
とするとき、は一様収束するか。
はどうか。
【解】
任意のx>0に関して
なので、は
に各点収束。
ε=1とし、任意の自然数Nに対しx=1/N∈(0,∞)にとると、
よって、は一様収束ではない。
の極限関数
。
任意のε>0に対して、
よって、
にとれば、
（解答終）
もちろん、
任意のε>0に対して、
になるためには、
でなければならない。
よって、任意の正数ε>0に対して、
とすれば、
よって、は0に各点収束するが、一様に収束しない。
としてもよい。
定理 （一様収束の必要十分条件）
関数列がI上で関数f(x)に一様収束する必要十分条件は
【証明】
I上ではf(x)に一様に収束するので、任意のε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在し、任意のx∈Iかつ任意のn≧N(ε)に関して、
が成立する。
逆に、のとき、
任意のx∈Iに対して、
が成り立つので、
よって、はf(x)に一様収束する。
（証明終）
問２ 次の関数列は各点収束するが、一様に収束しないことを示せ。
【解】
（１）
よって、は0に各点収束する。
したがって、
は、
で極小かつ最小、
で極大かつ最大。
よって、
ゆえに、
なので、は一様収束でない。
3DnxC3B7(12Bn5E2x5E2)-graph-13d74.png)
（２）
したがって、はf(x)=xに各点収束する。
だから、は一様収束でない。
（解答終）
【別解】
（１） ε=1/2>0とすると、任意の自然数Nに対して、x=1/Nとすると
したがって、一様収束でない。
（２） ε=1>0とすると、任意の自然数Nに対して、x=Nとすると、
よって、一様収束でない。
（別解終）
問３ 次の関数列が一様収束することを示せ。
【解】
（１） 0<a<1だから
よって、極限関数f(x)=0。
また、
よって、
はf(x)=0に一様収束する。
（２）
よって、はx=1/nのとき極大かつ最大。
また、
だから、
ゆえに、ハサミ打ちの定理より
また、
だから、は極限関数f(x)=0に一様に収束する。
（解答終）
さて、I=[0,1)とし、はIで定義されているとすると、
となるので、はIで一様収束でない。しかし、問３の（１）より、0<a<1とするとき、任意の閉区間J=[0,a}で一様収束する。このように、Iでは一様収束でないが、Iに包まれる任意の閉区間J（J≠I）で一様収束する場合がある。
定義 （広義一様収束）
区間Iで定義された関数列がI内の任意の閉区間Jでf(x)に一様に収束するとき、はf(x)に広義に一様収束するという。
定義から、関数列がIで一様収束すれば、Iで一様収束する。しかし、この逆は成立しないので注意。
2020-01-13 22:00
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