お前らに質問（関数列の収束 １月１３日）の解答例

お前らに質問（関数列の収束　１月１３日）の解答例

 

 

定義　（一様収束）

関数列と関数f(x)はIで定義されているとする。

任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iと任意のn≧N(ε)に対して、

　　

を満たすとき、関数列は一様収束するという。

 

定理　（一様収束の必要十分条件）

関数列がI上で関数f(x)に一様収束する必要十分条件は

　　

 

この定理を一様収束の定義にするものもある。

 

ここに出るなる記号は、x∈Iにおけるの上限を表すのだけれど、「上限なんてわからない、知らない」というヒトは、とりあえず、x∈Iにおけるの最大値（のようなもの）だと思って欲しい。

 

 

問題１　x≧0とするとき、次の関数列は一様収束か。

【解答例】

（１）　とおくと、

x=0のとき、。

x>0のとき、

　　

よって、関数列の極限関数f(x)は、

　　

の増減を調べるために微分すると、

　　

よって、x=1/nのときに、は極大かつ最大で、その最大値は

　　

ゆえに、

　　

したがって、は一様収束でない。

 

（２）　とおくと、

x=0のとき、

x>0のとき、

　　

したがって、極限関数f(x)は

　　

の増減を調べるために、微分すると

　　

よって、はのときに極大かつ最大で、最大値は

　　

したがって、

　　

ゆえに、は一様収束。

（解答終）

 

（１）は、

ε=1/eとすると、どんな自然数Nを与えても、x=1/Nにとると、

　　

となるのでは一様収束でない

としてもいい。

 

 

 

問題２　次の関数列は一様収束か。

　　

【解答例】

x=0のとき、だから、

　　

x>0のとき

　　

したがって、極限関数f(x)は

　　

また、

　　

なので、はx≧0でf(x)に各点収束するが、一様収束しない。

（解答終）

 

【別解１】

ε=1/eとすると、どんな自然数Nを与えても、x=1/Nにとると、

　　

よって、は一様収束でない。

（別解１終）

 

別解１では、x=1/Nとしているけれど、x=2/Nにとってよい。

このとき、

　　

になるので、自然数Nをどんなに大きくしても、ある一定の正の実数（この場合は1/e²）を決して下回らない点が少なくとも１つx≧0に存在することを示せれば、それだけで問題２の関数列が一様収束でないことの証明で十分なんだケロ。

 

 

【別解２】

に属するはx≧0で連続であるが、極限関数f(x)はx≧0において連続でない。よって、はx≧0において一様収束でない。

（別解２終）

 

定理

連続関数列がIで極限関数f(x)に一様収束するならば、f(x)はIで連続である。

 

この定理から、が連続で、極限関数f(x)が連続でなければ、は一様収束でないことになる。
そして、問題１の（１）は極限関数が連続なのでこの定理は使えないけれど、一様収束か否かを問う多くの問題は、この定理で片がつくのであった(^^)。

 

 

この他に、一様収束の定義にしたがって、

x>0のとき、

任意のε>0に対して

　　

したがって、

任意のε>0に対して

　　

とすると、

　　

よって、は一様収束でない

とすることもできる。