お前らに質問 (近似値 1月15日) [お前らに質問]
お前らに質問 (近似値 1月15日)
YouTubeに、の近似値を求めよ、という動画があったので、お前ら、この近似値を求めるにゃ。
ただし、ネイピア数e=2.71828・・・って値を使っちゃ〜ダメだケロよ。
念のために言っておくけれど、これは常用対数じゃなく、自然対数だからね。
たとえば、
だから、中点公式
を用いると、
って感じになるわな〜。
だから、積分区間[1,2]を2分割した[1,3/2]と[3/2,1]にそれぞれ中点公式を用いると、
とかね…。
シンプソン法
を使うと…。
さらに、被積分関数1/xを
と変形し、
と無限級数にし、これを[1,2]で積分するとか(^^)。
この無限級数は1≦x≦2のとき、
だから、に収束する!!
てなわけで、
さっ、張り切って、
この計算をしてもらいましょうか。
たぶん、この計算は、として、置換積分すると、ずっと楽になるはず!!
ちなみに、4次までしか取っていないけれど、これ、5次の項をとっても、値は変わらないケロよ。
何故だろうか?
さらに、6次の項まで計算すると
となって、
とほとんど一致する。
ネムネコの指示に従うなんてまっぴらゴメンだ。
だから、オレは
とし、区分求積法を用いて
と計算する!!
なるほどね〜。
でも、これは計算が大変な割に、先に中点公式を用いて求めた近似値0.667とさして変わらない。
下の図を見ると、この方法が賢明でないことがすぐにわかる。
その反骨精神、心意気は買うけれど…。
それはそれとして、
対数が発見されて間もなく対数表が作られたらしいけれど、昔の人はどうやって対数の値を求めたんだろうね。
(参考記事) ジョン・ネイピアが20年かけた対数表について
https://is.gd/WuNPfi
第54回 一様収束する関数列の性質 [微分積分]
第54回 一様収束する関数列の性質
定理1 (連続性)
区間Iで連続な関数列がf(x)に一様収束するならば、f(x)はIで連続である。
【証明】
はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε/3>0に対して、ある自然数が存在し、任意のx∈Iに関して、
a∈Iとすると、は点aで連続なので、任意の正数ε/3>0に対して、あるがあって、
したがって、任意のε>0に対して、にすると、
(証明終)
問1 次の関数列は各点で収束するが、一様収束でないことを示せ。
【解】
(1) 任意の自然数nに対しては[0,1]で連続だが、その極限関数
(2) 任意の自然数nに対しては[0,∞)で連続であるが、その極限関数
(解答終)
で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束し、また、f(x)=0はx≧0で連続であるが、はf(x)=0に一様収束しない。
したがって、この定理の逆は成立しない!!
問2 で定義される関数列は定数関数f(x)=0に各点収束するが、はf(x)=0に一様収束しないことを示せ。
【解】
x=0のとき、任意の自然数nに対して。
また、x>0のとき
関数の増減を調べるためにを微分すると、
となるから、はx=1/nのときに極大かつ最大。
また、
だから、
ゆえに、
よって、はx≧0でf(x)=0に一様収束でない。
(解答終)
定理2 (定積分)
有界閉区間I=[a,b]で連続な関数列がIでf(x)に一様収束するならば、
【証明】
連続な関数列が[a,b]でf(x)に一様に収束するので、定理1より、f(x)は[a,b]で連続であり、積分可能。
また、はf(x)に一様収束するので、任意の正数ε>0に対して、
したがって、
(証明終)
問3 とするとき、関数列は定数関数f(x)=0に一様収束する。このとき、が成り立つことを確かめよ。
【解】
したがって、
(解答終)
問4 関数列の極限関数をf(x)とするとき、次の関数列はが成り立つか。
【解】
(1)
また、極限関数は
だから、
よって、
(2)
また、極限関数はf(x)=0だから
(解答終)
したがって、一般に、この定理も逆が成立しないことがわかる。
問5
で定められる関数列について、次の問に答えよ。
(1) 関数列は[0,∞)で一様収束であることを示せ。
【解】
(1) x∈[0,∞)について
であるから、だから、ハサミ打ちの定理より
また、
だから、はf(x)=0に一様に収束する。
(2)
一方、
だから、
(解答終)
定理3 (微分)
区間IでC¹級な関数列がI上でf(x)に各点収束し、さらに、がI上でg(x)に一様収束するならば、
【証明】
a∈Iとし、aを固定すると、はIで連続なので、
また、はf(x)に各点収束し、はg(x)に一様収束するので、定理2より
g(x)はIで連続なので、
よって、f(x)はI上で微分可能で
(証明終)