お前らに質問（数列・級数の収束 １月１２日）

お前らに質問（数列・級数の収束　１月１２日）

 

 

いい解答を思いつかないので、お前らに次の問題の解答（回答）を募集するにゃ。

 

問題１　とするとき、数列の極限値は１と1/2の間にあることを示せ。

 

 

どんな方法でもいいというのならば、

たとえば、積分を使って

 　　

であり、

　　

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

そして、1/2< log 2 <1だから…。

 

なんで、ここで、いきなり積分が出るかわからないって？

それは、

　　

で、

　　

となるからだよ（下図参照）。

 

 

 

 

 

 

 

あるいは、

　　

だから、は（狭義）単調減少列。

　　

さらに、任意の自然数nに対して

　　

となるので、1/2はの下界（「げかい」ではなく「かかい」と読むにゃ！！）。

したがって、は下に有界な（狭義）単調減少列なので収束する。

また、

　　

だから、

　　

ゆえに、

　　

しか〜し、

この問題は

　　

であることを示せだから、これじゃ〜ダメなんだケロ。

 

なお、ここでは、数列の極限に関する次の定理を使っている。

 

定理　（有界な単調数列）

上に（下に）有界な単調増加（減少）数列は収束する。

 

定理　（数列の大小と極限値）

ならば

　　

 

 

いい解答を思いつかず、途方に暮れているにゃ。

 

 

そこで、お前らから、いい回答を募集ってワケ。

 

 

ちなみに、

nを自然数とするとき

　　

が成立するらしいケロよ。

で、

　　

 

をマクローリン展開すると

　　

ちょっとインチキが入るけれど、

これを[0,1]で積分すると、

　　

 

 

ということで、

お前らは次の問題も解くにゃ。

 

 

問題２　（数学的帰納法を用いて）次のことを示せ。

　　

 

 

募集している問題１の回答は、初等的な微分積分の範囲程度（たとえば、このブログの微分積分入門程度）のもので、数学が得意な高校３年生が読んで理解できる範囲なものなので、この点を守るように！！

 

 

解けた奴は、この記事のコメント欄にその回答を書き、ネムネコのもとに送信するにゃ。