ワンポイントゼミ 行列の固有値と固有ベクトル

ワンポイントゼミ　行列の固有値と固有ベクトル

 

Aを（２次の）正方行列とする。

　　

を満たすkを行列Aの固有値、をkに対する固有ベクトルという。

はと変形できるから、が存在するための必要十分な条件は

　　

である（註１）。

とすると、

　　

だから、

　　

これを行列Aの固有方程式という（註２）。

 

（註１）

行列式｜A−kE｜≠0のとき、A−kEは逆行列を持つ。

　　

となり、に反する。

 

（註２）

ケイリー・ハミルトンの公式

　　

と、（２）は同じ形をしている事に注意。

 

 

問　次の行列の固有値と、固有値に対する固有ベクトルを求めよ。

【解】

とし、kをAの固有値、kに対する固有ベクトルをとする。

 

（１）

　　

(x,y)が(0,0)以外の解を持つためには、

　　

①は

　　

k=1のとき、

②、③式より0x=0、y=0。

したがって、固有ベクトルは

k=2のとき、

②、③式より、−x=0、0y=0。

したがって、固有ベクトルは

 

（２）

　　

(x,y)が(0,0)以外の解を持つためには、

　　

k=2のとき、

　　

k=7のとき

　　

したがって、固有ベクトルは

　　

 

（３）

　　

①が(x,y)=(0,0)以外の解を持つためには

　　

k=1のとき、①は

　　

したがって、固有ベクトルは

　　

（解答終）

 

定理

（２次の）正方行列Aの固有値が相異なる実数のとき、それに対する固有ベクトルは１次独立である。

【証明】

Aの相異なる２実根をλ₁、λ₂とし、λ₁、λ₂に対する固有ベクトルをそれぞれとすると、

　　

そこで、の一次結合を

　　

とすると、

　　

を消去するために、①×λ₂−②を計算すると、

　　

だから、

　　

a=0だから、①は

　　

だからb=0。

したがって、とは１次独立である。

（証明終）

 

上の定理より、問の（１）、（２）で求めた固有ベクトルは互いに１次独立であることがわかる。

h=1、l=1とすると、（１）の固有ベクトルはが１次独立であることは明らか。

また（２）の固有ベクトルの１次結合を作り、それをと置くと、

　　

になる。

とおくと、｜A｜=1・1−2・(−1)=3≠0だから、Aは逆行列を持ち、

　　

となり、 １次独立である。

 

今すごく大切なことをさり気なく書いていたけれど、列ベクトルが１次独立か否かの判定は、から作った行列

　　

の行列式

　　

の値から、｜A｜≠0ならば１次独立、｜A｜=0ならば１次従属と判定できる！！

 

 

ワンポイントゼミ 複素数の行列表現

ワンポイントゼミ　複素数の行列表現

 

a、bを実数の定数、iは虚数単位とする。

また、R²からR²の写像fを

　　

によって定める。

　　

だから、

　　

という対応関係が得られる。

これを行列を用いて書き換えると、

　　

となる。

したがって、この写像は１次変換であり、また、写像fを表す行列は

　　

である。

そこで、

　　

のように対応させると、これが１対１の対応であることは明らかであろう。

とおくと、A=aE+bJだから、a+bi→aE+bJに対応する。同様に、c+di→c+dJに対応し、

　　

となるので、複素数の和が行列の和に対応していることがわかる。

　　

となり、複素数の積が行列の積に対応していることがわかる。

z=a+biの逆元は

　　

そして、行列の逆元（逆行列）は

　　

なので、複素数の逆元が行列の逆元に対応している。

 

つまり、加減乗除の四則について、複素数と複素数を表現した行列とは同一の代数的構造を有しているといる。

 

（註）

　　

このことからも、Jが虚数単位iに対応していることがわかる。

 

Cを複素数（の集合）とする。

z=a+bi∈Cとすると、

　　

というCからCへの関数を定義することができる。

だとしたら、これを手がかりに、

とし、とするとき、

　　

というXからXへの関数を定義できるのではないだろうか。

 

a≧0かつb=0ならば、

　　

と定義すれば、

　　

となり矛盾しない体系を作れると思うが、行列一般に成立しない計算規則を作ってもな〜。

 

厳密なことを言うと、⑨は複素数から複素数の集合への写像で多価関数とよばれるもの。

たとえば、

　　

で、これは本来

　　

と書くべきところのもの。

だ・か・ら、

うるさいことを言うと、次のような計算は、

　　

と、複素数の要素と複素数の集合の演算となって複素数の計算規則に抵触している。

 

やめたほうがいいんじゃないでしょうか。

 

 

コーヒーブレイク 直線ax+by+c=0と点(x₀,y₀)の距離

コーヒーブレイク　直線ax+by+c=0と点(x₀,y₀)の距離

 

最近、抽象的で難しい話ばかりしていたかもしれないので、少しばかり、コーヒーブレイクを入れて、一休みしよう。

 

問題

直線ax+by+c=0（a≠0またはb≠0）と点(x₀,y₀)の距離dは

であることを示せ。

 

「どこがコーヒーブレイクだ」と怒られそうですが、まあ、そう怒らないで。

この式（１）は、高校の数学に出てくる公式（のようなもの）だから、見覚えがあるだろうし、実際、数学の試験などで使ったことがあるのではないか。

 

何はともあれ、問題を解いてみようじゃありませんか。

 

【解】

点P(x₀,y₀)から直線ax+by+c=0におろした垂線の足をHとする。

直線ax+by+c=0とベクトルは垂直だから、はは平行。

したがって、

H(x,y)は

と表すことができる。

①をax+by+c=0に代入すると、

よって、

（解答終）

 

 

このように、ベクトルをうまく活用すれば、Hの座標を求めることなく、直線と点との距離の公式(1)

を求めることができる。

 

では、ここで宿題

 

宿題

直線ax+by+c=0に関してP(x,y)と対称な点Q(x',y')を求めよ。

 

わからないって！！

①と②を使えば、Hの座標を求めることができるでしょっ。

そして、HはPとQの中点だから、

 

あるいは、

って、これでは答を教えたようなものじゃないか！！

どうやら、書きすぎてしまったようだ(^^ゞ

 

そして、これは、原点を通る直線に関する対称移動２の別解にもなっている。

 

この宿題ができたヒトは、宿題で求めたPからQへの写像が一般に１次変換にならないこと、そして、c=0のときに線形写像、つまり、１次変換になることを示し、この１次変換を表す行列を求めてみるといい。

特に、a²+b²=1のとき、つまり、が単位ベクトルであるとき、どうなるか調べよ。

 

この記事に何が書かれているかわからないヒトは、次の問を解いてみるとよい。

そうすると、問題の解答で何が書かれているのかがわかってもらえるのではないか。

 

問　直線y=2x+1がある。このとき、次の問に答えよ。

（１）　直線y=2x+1に垂直な直線の傾きを求めよ。

（２）　点(2,1)を通過する直線y=2x+1に垂直な直線lの方程式を求めよ。

（３）　直線y=2x+1と直線lの交点を求めよ。

（４）　点(2,1)と直線y=2x+1と直線lの交点の距離を求めよ。

【解】

（１）　y=2x+1に垂直な直線の傾きをmとすると、

 

（２）

 

（２）の別解

直線lの方程式を

とする。

点(2,1)はこの直線上にあるので、

よって、直線lの方程式は

 

（３）　y=2x+1とより、

よって、

よって、交点は

 

（４）　(2,1)と(2/5,9/5)の２点間の距離は

（解答終）

 

直線y=2x+1は直線2x−y+1=0と同じ。

したがって、（１）式より、直線2x−y−1=0と(2,1)の距離は

 

⑨未満の一つ覚えのように、公式（１）を使って、直線y=2x+1と点(2,1)の距離を求めるよりも、一度、この問の解答のように手順を踏んで直線の距離を求めた方が具体的なイメージをつかむことができ、実り多いものになるのではないかと思う。

 

［線形代数ってなにさ？_5］

［線形代数ってなにさ？_5］

 

５．線形写像の標準分解

　準備段階が済んだので、ここから具体的な話を始められます。内容はかなりブルバキの影響を受けてます。写像の標準分解がそれです。線形写像の標準分解を使うと、線形代数の構成への見通しが格段に良くなるが、持論です。ここが線形代数前半の山です！。

 

　線形写像fを行列っぽく見せるためにＡで表します。Ａxはf(x)の事です。また以後の話はn次元ベクトル空間ＶからＶへの線形写像Ａ：Ｖ→Ｖに限定します。このようなＡは線形変換と呼ばれます。手始めに核空間です。

 

［定義-12］

　Ａx＝0を満たすx∈Ｖの全体をＡの核と言い、ker(Ａ)で表す。ker(Ａ)は部分空間になる。

 

　Ａx＝0かつＡy＝0とします。

　Ａ(x＋y)＝Ａx＋Ａy＝0＋0＝0だからx＋y∈ker(Ａ)。

　Ａ(λx)＝λＡx＝λ･0＝0だからλx∈ker(Ａ)。

　従ってker(Ａ)は部分空間。

 

　そして像空間。

 

［定義-13］

　任意のx∈Ｖに対するＡx∈Ｖの全体をＡの像と言い、Image(Ａ)で表す。Image(Ａ)は部分空間になる。

 

　Ａx∈Image(Ａ)かつＡy∈Image(Ａ)とします。

　Ａx＋Ａy＝Ａ(x＋y)＝でx＋y∈Ｖは自明だから、Ａx＋Ａy∈Image(Ａ)。

　λＡx＝Ａ(λx)でλx∈Ｖは自明だから、λＡx∈Image(Ａ)。

　従ってImage(Ａ)は部分空間。

 

　写像の一般論として、1対1写像の事をここでは単射，上への写像の事を全射といいます。全単射（1対1かつ上への写像）なら逆写像（逆関数）がある事、およびその逆は当然とします。

 

［定理-2］

　Ａが単射である条件は、ker(Ａ)＝{0}。

［証明］

　Ａが単射である条件は、Ａx＝Ａyならx＝yを示す事。

　Ａx＝ＡyならＡ(x－y)＝0。従ってx－y∈ker(Ａ)。よってker(Ａ)＝{0}ならx－y＝0でＡは単射。

　逆にＡが単射なら、Ａ0＝0は自明なのでker(Ａ)＝{0}。

［証明終］

 

［定義-14］

　ker(Ａ)＝{0}となるＡは、正則と呼ぶ。従って、Ａが正則⇔Ａが単射。

 

［定理-3］

　Ａが単射なら、独立なベクトル集合を独立なベクトル集合へ移す。

［証明］

　{v₁，v₂，・・・，v_n}を独立とする。Ａの線形性から、

とすると、{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}が従属ならどれかのλ_jが0でなくてよいが、Ａは単射なので、

がどれかのλ_jが0でなくても成り立つ事になり、{v₁，v₂，・・・，v_n}が独立でなくなる。これは不可。

　従って{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}が独立になる事が必要。

［証明終］

 

［定理-4］

　Ａが単射なら全射。

［証明］

　{v₁，v₂，・・・，v_n}をＶの基底とする。

　［定理-3］から{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}は独立であるが、Ａ：Ｖ→Ｖなので{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}はＶから作れる最大本数の独立なベクトル集合となりＶの基底である。

 

　Ａが全射である条件は、任意のy∈Ｖに対してＡx＝yとなるx∈Ｖがある事。

　{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}はＶの基底なので、任意のy∈Ｖについて、

となる基底表現が存在する。Ａの線形性から、

は自明なので、Ａx＝yとなる、

x∈Ｖが存在することになりＡは全射。

［証明終］

［定理-5］

　Ａが全単射なら、Ａ^-1Ａ＝ＡＡ^-1＝ＥとなるＡ^-1がある。ここにＥは恒等写像。

　逆に上記を満たすＡ^-1があれば、Ａは全単射。

［証明］

　当然。

［証明終］

　ここまでの結果をまとめます。

 

［系-1］

　以下は線形変換Ａ：Ｖ→Ｖにおいて同値。

　Ａが正則 ⇔ ker(Ａ)＝{0} ⇔ Ａは単射 ⇔ Ａは独立なベクトルを独立に移す ⇔ Ａは全射 ⇔ Ａ^-1あり。

［証明］

　［定義-14］と［定理-2～5］による。

［証明終］

 

　次の定理が線形変換の標準分解になりますが、必要な用語を写像の一般論からもう一個持ってきます。

　写像f：Ｘ→Ｙの定義域ＸをＤ⊂Ｘに制限した写像g：Ｄ→Ｙを、fのＤへの制限（縮小）と呼び、g＝f|_Ｄで表します。Ｄ上では明らかにf(x)＝f|_Ｄ(x)。

 

［定理-6］

　Ａの核ker(Ａ)には直和補空間Ｒ(Ａ)が存在する。Ａ|_Ｒ(Ａ)：Ｒ(Ａ)→Image(Ａ)は正則で全単射。

　従って(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1が存在する。

　Ａが正則である条件は明らかにker(Ａ)＝{0}で、このとき(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1＝Ａ^-1かつImage(Ａ)＝Ｖ（図-1）。

［証明］

　Ｒ(Ａ)の存在は、前回の［定理-1］による。

　Ａ|_Ｒ(Ａ)が正則は、ker(Ａ)とＲ(Ａ)とＡ|_Ｒ(Ａ)の定義から、ker(Ａ|_Ｒ(Ａ))＝Ｒ(Ａ)∩ker(Ａ)＝{0}だから。

　Ａ|_Ｒ(Ａ)が全単射は、Image(Ａ)に対して［定理-4］と同じ状況。(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1の存在は［系-1］。

　最後に繰り返しになるが、ker(Ａ)＝{0}ならＲ(Ａ)＝ＶだからＶでＡは正則。このとき(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1の定義より(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1＝Ａ^-1は自明。Image(Ａ)＝Ｖなのは［系-1］による。

［証明終］

 

図-1 線形変換の標準分解

 

　自分の意見では、図-1が線形写像の全てです。この図は、定義域の中で核空間を除外すれば任意の線形写像は、全単射で逆行列を持つと言ってます。核空間は{0}に写像するだけですから、実質的に使いたいのはそうでない部分ですよね？。そこが常に全単射で逆行列を持つという、素晴らしい性質です。

 

次の定理は勝手に次元定理と呼んでますが、[系-1][定理-6]と同等です。

 

［定理-7］

［証明］

　Ｖの次元は明らかにdim(ker(Ａ))＋dim(Ｒ(Ａ))。Ａ|_Ｒ(Ａ)：Ｒ(Ａ)→Image(Ａ)は全単射だから、［系-1］よりＲ(Ａ)の基底をImage(Ａ)の基底に移すので、dim(Ｒ(Ａ))＝dim(Image(Ａ))。よって、

［証明終］

 

　これでベクトル空間の固有空間による直和分解に進む事ができます。

 

［線形代数ってなにさ？_4］

［線形代数ってなにさ？_4］

 

４．部分空間は直和のためにある

　今後、線形写像と行列は区別なく用います。どっちの事を言ってるのかは、文脈で判断して下さい。

 

　最後の準備段階です。準備段階なので「後で役に立つからやるんだ」と定理と定義を受け入れて下さい（心苦しいですが）。

 

［定義-6］

　ベクトル空間Ｖ（それは集合でもありました）の部分集合Ｗ⊂Ｖで、Ｗがベクトル空間になるものをベクトル空間Ｖの部分空間と言う。

 

　部分空間Ｗの特徴づけは簡単です。要するにベクトル空間の［定義-1］を満たせばいいんですよ。念のため再記すると、

 

［定義-1］

　ベクトル空間（線形空間）Ｖとは、集合Ｖと体Ｋのペアがあり、次の公理を満たすもの。

(V1) a，b∈Ｖなら、a＋b∈Ｖ。

(V2) a，b，c∈Ｖとして、(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。

(V3) 0∈Ｖがあり、任意のa∈Ｖについて0＋a＝a＋0＝a。

(V4) 任意のa∈Ｖについて、－a∈Ｖがあり(－a)＋a＝a＋(－a)＝0。

(V5) a＋b＝b＋a。

(V6) 任意のα∈Ｋとa∈Ｖについて、αa∈Ｖ。

(V7) α，β∈Ｋ、a∈Ｖとして、(αβ)a＝α(βa)。

(V8) α，β∈Ｋ、a∈Ｖとして、(α＋β)a＝αa＋βa。

(V9) α∈Ｋ、a，b∈Ｖとして、α(a＋b)＝αa＋αb。

(V10) 1をＫの単位元として、1a＝a。

 

ですが、Ｗ⊂Ｖですからね。Ｗのメンバーはみんなベクトルです。そうすると(V2)～(V5)，(V7)～(V10)は自明じゃないですか。残るのは(V1)と(V6)のみです。こればっかりは、やってみなけりゃわかりません。よって、

 

　aとb∈Ｗ，α∈Ｋとして、a＋b∈Ｗかつαa∈Ｗならば、Ｗは部分空間である。

 

証明終わり！(^^)。

 

　次は完全なる用語の定義です。

［定義-7］

　0∈ＶのみからなるＶの部分集合{0}は部分空間である。これを{0}空間と呼ぶ。

 

　エッ、証明しろ？。0＋0＝0∈{0}，α0＝0∈{0}だから・・・。

 

　こっから本題です。Ｖの基底Ｂ＝{v₁，v₂，・・・，v_n}を考えます。ＢはＶの任意のベクトルを表現できる能力があります。例えばＶの二つの部分空間Ｗ₁とＷ₂があった場合、w₁∈Ｗ₁とw₂∈Ｗ₂について、

 

 

(1)

 

という基底表現があります。ここで添え字k1，k2，・・・，kpとL1，L2，・・・，Lqは、Ｗ₁とＷ₂を表すのに必要なＢのメンバーの一部を取り出したという意味です。Ｗ₁とＷ₂はＶの部分集合でもある訳ですから、普通に考えたら{v₁，v₂，・・・，v_n}の全部を使う訳ないですよね？。それから(1)で表されるw₁やw₂をいくら足しても、またスカラー倍しても(1)の形になるので、部分空間の［定義-6］と矛盾しないのもわかりますよね？。

　ここにもう部分空間の意図が見えています。基底とは抽象化された座標軸でした。要するに部分空間とは、部分座標軸による表現です。3次元空間で(x，y，z)座標じゃなく、xy平面で考えたい場合もあるよねぇ～、という話に対応するものです。

 

　添え字k1，k2，・・・，kpに対応する基底を集めたベクトル集合をＢ₁，L1，L2，・・・，Lqに関するものをＢ₂とします。Ｂ₁とＢ₂はＢの部分集合（部分基底）で、もちろん基底の定義から独立なベクトル集合です。

　部分空間Ｗが部分基底Ｃで(1)のように表現される時、ＷはＣで張られると言います（本当はもう少し広い意味で使われますが）。

 

　Ｗ₁を張るＢ₁と、Ｗ₂を張るＢ₂の共通メンバー（Ｂ₁∩Ｂ₂）は、あるかないかのどちらかです（Ｂ₁∩Ｂ₂≠φかＢ₁∩Ｂ₂＝φのどちらか）。

　Ｂ₁∩Ｂ₂≠φの場合、共通メンバーだけ取り出してまた(1)の形を作ってやれば、それらはＷ₁とＷ₂の両方に含まれるのは明らかなので、Ｗ₁∩Ｗ₂≠φです。

　Ｂ₁∩Ｂ₂＝φの場合、Ｗ₁∩Ｗ₂＝φになるのかと思いきや、Ｗ₁∩Ｗ₂≠φです。それは0ベクトルが任意の部分空間Ｗに含まれるからです。定義からα＝0かつa∈Ｗとして、αa＝0・a＝0∈Ｗだからです。これは(1)で全ての係数を0としたケースです。しかしＷ₁∩Ｗ₂＝{0}にはなります。

 

　証明します。v∈Ｗ₁∩Ｗ₂は0になる事を示します。(1)の左辺のw₁とw₂をvとした式を想像します。等しいので等置し移項すれば、Ｂ₁∩Ｂ₂＝φなので独立・従属のところでしつこくやった線形和の形です。そしてＢ₁∪Ｂ₂⊂Ｂです。基底の定義より(1)の係数は全て0。従ってv＝0。Ｗ₁∩Ｗ₂＝{0}。

 

［定義-8］

　Ｗ₁，Ｗ₂⊂Ｖを部分空間として、Ｗ₁∩Ｗ₂＝{0}となるものを互いに独立な部分空間と呼ぶ。

 

　証明はしませんが、Ｗ₁の任意のベクトルとＷ₂の任意のベクトルが独立なのは明らかですよね？。3次元空間でz方向の任意のベクトルとxy平面の任意のベクトルが独立なのは明らかですよね？。z軸とxy平面が、Ｒ³の部分空間である事も。Ｗ₁とＷ₂の共通分に自明でない（0でない）ベクトルがあるって事は、張る基底の一部がダブッテルって事です(^^)。

　一般には互いに素な部分空間と言うようですが、自分は［定義-8］の呼び方がぴったりきます。

 

［定義-9］

　Ｗ₁とＷ₂を部分空間、w₁∈Ｗ₁，w₂∈Ｗ₂として、w₁＋w₂全体の集合Ｗを、部分空間Ｗ₁とＷ₂の和空間と呼び、Ｗ＝Ｗ₁＋Ｗ₂で表す。和空間は部分空間である。

 

　あくまで基底ベースで考えましょう。Ｗ₁を張る基底とＷ₂を張る基底の全部を使って、Ｗを張ったと言ってるだけです。ところで部分空間のスカラー倍はなんでないんでしょう？。部分空間の任意ベクトルのスカラー倍は、定義から元の部分空間に戻っちゃうからです(^^;)。

 

［定義-10］

　ＷがＷ₁とＷ₂の和空間であり、Ｗ₁とＷ₂が互いに独立なとき、ＷはＷ₁とＷ₂の直和であるといい、

　

 

で表す。これを「Ｗは、Ｗ₁とＷ₂へ直和分解された」とも言う。

 

　ＷがＷ₁とＷ₂の直和でない場合、Ｗ₁とＷ₂のベクトルには重複するものも沢山ある訳ですから、Ｗ＝Ｗ₁やＷ＝Ｗ₂やＷ＝Ｗ₁＝Ｗ₂もありえます。

 

［定義-11］

　ベクトル空間をＶとして、

　　

であるとき、Ｗ₁はＷ₂の（Ｗ₂はＷ₁）の直和補空間であると言う。

 

　ただの補空間なる用語もありますが、わかりますよね？。基底概念は座標軸の一般化でした。部分空間はそれを束ねたものです。なので「ベクトル空間の部分空間による直和分解」は、基底概念の一般化と思えませんか(^^)。ベクトル空間を適当な部分空間で直和分解し、線形写像（行列）の作用を自明にする事、それが固有空間への直和分解であり線形代数前半の最終目標です。部分空間は、直和を定義するためにあります。

 

　以下の定理に特殊ケースを作りたくないので、次の約束を行います。0ベクトルは任意の部分空間Ｗに含まれるのでＷ∩{0}＝{0}です。またＷ＝Ｗ＋{0}も明らかです。［定義-8］に従い、これも直和だとみなします。すなわち直和分解、

　　

はいつでも成り立つとします。

 

 

［定理-1］

　ベクトル空間Ｖの任意の部分空間Ｗには、{0}空間も含めれば直和補空間Ｕが必ず存在する。

［証明］

　Ｖの基底をＢとし、Ｗを張る部分基底をＢ₁⊂Ｂとする。ＢにおけるＢ₁の補集合Ｂ₂＝C_ＢＢ₁（ブルバキ式の記法です(^^;)）でＵを張れば良い。Ｂ₂＝φならＵ＝{0}。

［証明終］

 

　［定理-1］はＶがベクトル空間であればどこでもOKの定理です。ＶがＶの部分空間Ｗであっても。部分空間Ｗの中の部分空間が可能なのはもう明らかだと思います。その部分空間はＶでの部分空間と同じです。部分空間Ｗの中でＳ⊂Ｗの直和補空間を考えたい時は、ＷでのＳの直和補空間Ｕという言い方をします。

 

 

［線形代数ってなにさ？_3］

［線形代数ってなにさ？_3］

 

 

３．線形写像の行列表現

　基底の準備が整うと、線形写像の具体的な計算が可能になります（具体的といってもけっこう抽象的ですが(^^;)）。やっつけちゃいましょう！(^^)。

　と、その前に、線形写像とは何だったか？を思い出します。［線形代数ってなにさ？_1］で述べたように、線形写像は1次元の一次関数f(x)＝axの高次元への一般化でした。ところがここでもまた障害になるのが、［線形代数ってなにさ？_1］の冒頭のベクトル空間の［定義-1］で、座標表現をあきらめてしまった事です。いきなり位置ベクトルに作用する行列を持ち出せないんですよ。そこでまた行列を、「一から手造りする」破目へと陥ります(^^;)。でも根っこは常に、位置ベクトルイメージであり行列イメージですからね。

 

　普通の1次元の一次関数f(x)＝axは、次の関数方程式の解です。

　　

　(1)を実際に解いた経験のある方なら知ってるはずですが、その途中で、

　　

を導けます。(1)と(2)を合わせて、

　Ｒを実数全体の集合，f：Ｒ→Ｒとして、次の条件を満たすものを一次関数と言う。

(L1) f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

(L2) f(λx)＝λf(x)

を定義にしとくと、f(x)＝axにいたる過程は多少楽になります。ところでＡを行列、x，yを位置ベクトルとすると明らかに、

(L1) Ａ(x＋y)＝Ａx＋Ａy

(L2) Ａ(λx)＝λＡx

が成り立ちます。それでこれは行けるぜ！という話になりました。さぁこっからはスカラーはギリシャ文字、ベクトルはアルファベットです。

 

［定義-5］

　Ｖ_nとＶ_mをn次元とm次元のベクトル空間，f：Ｖ_n→Ｖ_mとして、次の条件を満たすものを線形写像と言う。x，y∈Ｖ_nとして、

(L1) f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

(L2) f(λx)＝λf(x)

 

　fがf：Ｖ_n→Ｖ_mなのは、xがベクトルでＡxもベクトルだからです。f(x)やf(y)は当然、f(x)，f(y)∈Ｖ_mという事になります。

　x∈Ｖ_nをＶ_nの基底{v₁，v₂，・・・，v_n}で、基底表現します。

　　

　これに［定義-5］の線形写像を作用させます。

　　

　(L1)を使います。

　　

　(L2)を使います。

　　

　ここでλ₁，λ₂，・・・，λ_nはxの基底表現(3)の係数なので、xを具体的に決めれば全て既知です。よって(4)は次のように言ってます。

　　・線形写像は、定義域の基底ベクトルに関する値さえ決めてしまえば、完全に決まる。

　値域のベクトル空間Ｖ_mにも基底{w₁，w₂，・・・，w_m}があります。f(v₁)， f(v₂)，・・・，f(v_n)∈Ｖ_mです。従って、

 

 

 

 

 

 

 

と表せます。ここで式の文字数が多くて面倒臭いという理由で、卑怯にもまだ使えないはずの行列記法を流用するんですよ。上記をこう略記するのだぁ～！、とか言いながら(^^;)。

　　

　(5)の(μ_ji)はまだ未定です。未定ですがこれらは、線形写像fの具体的な挙動から決めるべきものです。逆に言えば、行列(μ_ji)で線形写像fが完全に決まる事になります。この行列(μ_ji)の事を、線形写像fの表現行列と言います。

　ちなみに(5)の形を超行列とか超ベクトルとか呼ぶ人がいますけれど、自分の意見では全く無意味な用語ですからね。確かにベクトルが位置ベクトル形式に並んでるので、何らかの用語を当てたくなる気持ちはわかりますが、「面倒臭いから行列記法を流用しただけ」です。でもそのおかげですっきりし、行列表現が得られます。

　ところで行列(μ_ji)の行番号と列番号の並びが、通常とは逆なのにお気づきでしょうか（転置状態）。これはわざとです。理由はすぐわかります。Ａ^t＝(μ_ji)とします。Ａ^tはn×m行列です。

　　

 

　(4)も行列記法で略記し、(6)を代入します。

　　

 

　f(x)は、f(x)∈Ｖ_mです。f(x)にも{w₁，w₂，・・・，w_m}による基底表現があります。

　　

　(7)と(8)を等置し（同じf(x)だから、等置できる）、

　　

転置を取って、

　　

移項すれば、

　　 

が得られます。b＝(η_i)，a＝(λ_j)とします。{w₁，w₂，・・・，w_m}は基底で独立でした。よって(9)が成り立つためには、b－Ａa＝0すなわち、

　　

が必要となります。Ａはm×n行列です。a＝(λ_j)はベクトルxの基底表現の係数でした。基底とは座標軸でした。従ってaは座標軸{v₁，v₂，・・・，v_n}に関する座標とみなせます。b＝(η_i)も座標軸{w₁，w₂，・・・，w_m}に関する座標とみなせます。よって、

　　　

とは、線形写像fによる座標変換式です（一次変換）。こうしてやっと座標表現は復活します(^^)。

　ここまでの過程は、ある重要な含みを持っています。どんなに妙チクリンに見えようとベクトルに基底表現ある限り、どんなベクトルも最終的には位置ベクトルの計算に具体的に持ち込める、という重要な事実です。位置ベクトルだったら計算できます。たとえ関数空間であろうとも(^^)。

 

　ベクトルxの{v₁，v₂，・・・，v_n}に関する基底表現の係数を、位置ベクトル形式(λ_j)にまとめたものを、ベクトルxの基底{v₁，v₂，・・・，v_n}に関する表現ベクトルと呼びます。

 

　位置ベクトルの事は今後、数ベクトルと呼びます。数ベクトル空間の最も明解な基底、

　　

は自然基底です。

 

　線形写像fと表現行列Ａは同じなのがわかりました。ところで行列に必要な基本演算は、和，スカラー倍，積です。fは関数（写像）なので和とスカラー倍は、関数の和とスカラー倍に対応します。

　　

　上記は、写像の和とスカラー倍の定義にまで遡って(6)～(10)の手続きで導けますが、まっ当然ですよね？。積についてはＢＡxは、xにＡを作用させてからＢを作用させるなので、写像の合成に対応します。

　　

　行列の基本演算を証明（？）したので、もう行列の使用は解禁しようと思います(^^)。

（執筆ddt³さん）

ワンポイントゼミ 直交行列と１次変換

ワンポイントゼミ　直交行列と１次変換

 

問題　行列による１次変換を考える。は任意の列ベクトルとし、列ベクトルとする。いまとの絶対値が等しくなる行列Aの集合をMとする。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　A∈Mとなるための必要十分な条件をa、b、c、dを用いて表わせ。

（２）　A∈M、ならばとの内積ととの内積が等しいことを示せ。

（３）　 A∈Mのとき、逆行列を求めよ。

【解】

（１）　とすると、

　　

より、任意のx₁、x₂に対して

　　

が成立しないといけないので、

　　

でなければならない。

逆に、ならば。

 

（２）　とすると、

　　

 

（３）

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

この条件は、１次変換を表す行列の列ベクトルが単位ベクトルで、互いに直交していることを示している。このような行列を直交行列といい、直交行列で表される１次変換は、線分の長さや角の大きさを変えない合同変換で、これを直交変換という。

 

、さらに、とすると、との内積は

　　

と表すことができる。

したがって、

　　

としたとき、との内積は

　　

となる。

したがって、

　　

となる、

だとすると、

　　

ここで、Eは単位行列である。

任意のベクトルについて（３）が成り立つためには、

　　

でなければならない。

逆に、（４）が成立するとき、

（１）より、

　　

となる。

以上のことから、

　　

であることがわかる。

　

とすると、

　　

つまり、Aが直交行列であることとは同値であることが分かる。

また、このことから、

　　

であること、であることから、

　　

である。

これらは、２次の正方行列に限らず、n次の正方行列に関しても成り立つ性質である。

 

特に、Aが２次の正方行列であるとき、Aは

　　

のいずれの形で表すことができる。

は原点を中心にθ回転させる１次変換を表す行列であり、は原点を通る直線に関しての折り返しを表す行列である。

 

 

ワンポイントゼミ 原点を通る直線の対称移動２

ワンポイントゼミ　原点を通る直線の対称移動２

 

問題　R²のベクトルの内積をとする。を長さ１のベクトルとし、直線による折り返し写像をとする。

（１）　次の関係が成立することを示せ。

　　

（２）　Tが線形写像（１次変換）であることを示せ。

【解】

（１）　原点を通る直線Lに関して点と対称な点をとする。

問題の条件より、

　１　との中点は直線L上にある

　２　とは平行（※）だから、

 　　

は直線L上にあるので、

　　

また、

　　

①より、

　　

したがって、

　　

 

（２）

　　

したがって、fは線形写像（１次変換）である。

（解答終）

 

（※）　直線L（の方程式）はだから、直線Lとは直交し、と直線Lは直交するので、とは平行である。

 

 

幾何的には、原点を通るに平行な直線に点Pからおろした垂線をHとすると、

　　

となる。

 

図を見るとわかるとおり、点Pと点P'の中点をMとすると、

　　

したがって、

　　

 

このことをベクトルの演算で求めたのが問題の（１）である。

 

この図の場合、とは逆向きのベクトルになっているけれど、の値によって、つまり、とのなす角度によって同じ方向になったり、逆方向になったりする事に注意！！

図形的な解法だと、こうした位置関係が問題になるので、注意が必要。

 

大学入試で、このような問題が出題されたら、限りなく全滅に近いかもしれない（笑い）。

だって、高校生の多く――理系の大学生の多くですら――はベクトルが苦手で、内積はうまく使えないもん。

 

【公式至上主義者向けの力技による（１）の別解】

とすると、直線Lの方程式の方程式は

　　

cosφ≠0のとき、

　　

ここで、m=tanφとおくと、y=mxに関する折り返しを表す行列は

　　

だから、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

一方、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

また、cosφ=0のときは、はx軸に平行な単位ベクトルとなり、直線はy軸。

このとき、

　　

となる。

よって、

　　

（別解終）

 

このように、公式に基づき、力技だけでこの問題を解くこともできる(^^)

 

 

 

 

どうせ、お前ら、こんな解答が好きなんだろう？

 

（※）　のとき、を計算すると、これが成立することを確かめるように！！

 

読むと呪われる

ワンポイとゼミ １次変換とベクトル

ワンポイとゼミ　１次変換とベクトル

 

１次変換ｆによってベクトルがベクトルに写されるとき、をfによるの像といい、

　　

で表す。

また、１次変換fを表す行列がAであるとき、

　　

で表す。

 

をベクトル、kを実数とするとき、

　　

が成り立つ。

 

【補足】

fを集合Xから空でない集合Yへの写像とする。

x₁、x₂∈X、kを実数とするとき、

　　

が成り立つときfをXからYへの線形写像という。

f(x)=axとすると、

　　

したがって、線形写像、１次変換はf(x)=axの拡張になっていることが分かる。

 

問１　１次変換fによってベクトルがそれぞれに写されるとき、fを表す行列を求めよ。】

 

問２　ベクトルをそれぞれを写す１次変換fがある。fによる次のベクトルの像を求めよ。

【解】

１次変換fを表す行列をAとすると、

　　

これを１本の式であらわすと、

　　

したがって、

（解答終）

 

問３　１次変換fによって、異なる４点P、Q、R、SがそれぞれP’、Q’、R’、S’に写されるとする。このとき、次のことを示せ。

（１）　線分PQをm:nに内分する点Tは、fによって、線分P’Q’をm:nに内分する点T’に写される。

（２）　

【略解】

点P、Q、R、Sの位置ベクトルを、それぞれ、とすると、点P’、Q’、R’、S’の位置ベクトルは

　　

 

（１）　線分PQをm:nに内分する点Tの位置ベクトルはであるから、fによる像は

　　

したがって、線分PQをm:nに内分する点Tは、fによって、線分P’Q’をm:nに内分する点T’に写される。

 

（２）　PQとRSは平行だから、ある実数k≠0が存在して

　　

である。

（略証終）

 

では、

互いに直交するベクトルの、１次変換fによる像をとするとき、とは直交するだろうか。

１次変換fを表す行列を、とすると、

　　

つまり、一般に、１次変換によって直交性は保証されないことが分かる。

 

問４　平面上の点の写像によって、任意の点P、QがそれぞれP’、Q’に写されるとする。また、fによって原点Oは原点Oに写され、任意の実数m、n（m+n≠0）について、線分PQをm:nの比に分ける点は線分P’Q’をm:nの比に分ける点に写される。このとき、次のことが成り立つことを示せ。

【解】

とすると、題意より

　　

 

（１）　線分OPをk:1−kに内分する点の位置ベクトルは

　　

したがって、

　　

 

（２）　線分PQを１：１に内分する点の位置ベクトルは

　　

したがって、P’Q’の中点の位置ベクトルは

　　

（１）より

　　

①と②より、

　　

【解答終】

 

 

問題　次のうち、線形写像であるものはどれか。ただし、とする。

【解】

（１）　線形写像ではない。

なぜならば、

　　

 

（２）　線形写像である。

なぜならば、

　　

 

（３）　線形写像ではない。

とすると

　　

①と②は一般に等しくないので、この写像は線形変換ではない。

（解答終）

 

問題の（３）は線形写像ではないけれど、

とすると、

　　

が成立し、線形写像に近い性質を持っている。

 

ワンポイントゼミ １次変換の合成と逆変換

ワンポイントゼミ　１次変換の合成と逆変換

 

１次変換f、gを表す行列をA、Bとすると、合成写像を表す行列はABである。

また、Aが逆行列をもつとき、fの逆変換f⁻¹を表す行列はA⁻¹である。

 

問１　１次変換

　　

とする。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　合成写像g○fとf○gを表す行列を求めよ。

（２）　点(2,3)はg○fとf○gによって、それぞれどんな点に写されるか。

【解】

（１）

　　

 

（２）

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

問２　１次変換の逆変換f⁻¹を表す行列を求めよ。また、fによって点(2,3)に写される元の点を求めよ。

【解】

fを表す行列は｜A｜=2・3−(−1)・5=11≠0だから逆行列A⁻¹をもつ。

　　

fによって点(2,3)に写される点を(x,y)とすると、

　　

（解答終）

 

 

問３　P(x,y)を直線y=xに関して対称移動し、さらに、原点Oのまわりに６０°だけ回転すると点(2,1)に写る。点Pの座標を求めよ。

【解】

P(x,y)を直線y=xに関して対称移動させる変換をf、さらに、原点まわりに60°だけ回転させる１次変換をgとすると、

f、gを表す行列A、Bは

　　

したがって、

　　

よって、元の点は(1−√3,1+√3/2)。

（解答終）

 

 

問題１

　　

行列Aはどのような１次変換を表しているかを答えよ。

【解】

a²+b²≠0だから、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

したがって、Aは拡大（拡大比）と原点を中心とする回転の合成写像を表している。

（解答終）

 

 

 

問題２　原点を通り、x軸の正の向きと角θをなす直線をlとする。点(x,y)のlに関する対称点(x’,y’)を次のような１次変換の合成に求める。

　(a)　原点Oを中心とする角−θの回転によって(x,y)を(x₁,y₁)に写す。

　(b)　(x₁,y₁)をx軸に関する対称点(x₂,y₂)に写す。

　(c)　最後に、原点Oを中心とする角θの回転によって(x₂,y₂)を(x’,y’)に写す。

各変換を行列を用いて、

　　

と表し、それらを合成して

　　

と表す。

行列A、B、C、Dを求めよ。

【解】

Aは原点Oを中心とする角−θの回転を表す行列なので

　　

Bはx軸に関する対称変換であり、(x₂,y₂)=(x₁,−y₁)という対応関係があるので、

　　

Cは原点Oを中心とする角θの回転を表す行列なので

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

問題３　y=mxについての対称移動を表す行列を求めよ。

【解】

m=tanθ（0≦θ<π/2,π/2<θ<π）だから、

　　

cosθの倍角公式を用いると

　　

したがって、

m≧0（0≦θ<π/2）のとき

　　

m<0（π/2<θ<π)のとき

　　

よって、

　　

以上のことから、

　　

（解答終）

（※）

　　

と求めることもできる。

 

 

問題３の別解