ワンポイントゼミ 直交行列と１次変換

ワンポイントゼミ　直交行列と１次変換

 

問題　行列による１次変換を考える。は任意の列ベクトルとし、列ベクトルとする。いまとの絶対値が等しくなる行列Aの集合をMとする。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　A∈Mとなるための必要十分な条件をa、b、c、dを用いて表わせ。

（２）　A∈M、ならばとの内積ととの内積が等しいことを示せ。

（３）　 A∈Mのとき、逆行列を求めよ。

【解】

（１）　とすると、

　　

より、任意のx₁、x₂に対して

　　

が成立しないといけないので、

　　

でなければならない。

逆に、ならば。

 

（２）　とすると、

　　

 

（３）

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

この条件は、１次変換を表す行列の列ベクトルが単位ベクトルで、互いに直交していることを示している。このような行列を直交行列といい、直交行列で表される１次変換は、線分の長さや角の大きさを変えない合同変換で、これを直交変換という。

 

、さらに、とすると、との内積は

　　

と表すことができる。

したがって、

　　

としたとき、との内積は

　　

となる。

したがって、

　　

となる、

だとすると、

　　

ここで、Eは単位行列である。

任意のベクトルについて（３）が成り立つためには、

　　

でなければならない。

逆に、（４）が成立するとき、

（１）より、

　　

となる。

以上のことから、

　　

であることがわかる。

　

とすると、

　　

つまり、Aが直交行列であることとは同値であることが分かる。

また、このことから、

　　

であること、であることから、

　　

である。

これらは、２次の正方行列に限らず、n次の正方行列に関しても成り立つ性質である。

 

特に、Aが２次の正方行列であるとき、Aは

　　

のいずれの形で表すことができる。

は原点を中心にθ回転させる１次変換を表す行列であり、は原点を通る直線に関しての折り返しを表す行列である。