ワンポイとゼミ １次変換とベクトル

ワンポイとゼミ　１次変換とベクトル

 

１次変換ｆによってベクトルがベクトルに写されるとき、をfによるの像といい、

　　

で表す。

また、１次変換fを表す行列がAであるとき、

　　

で表す。

 

をベクトル、kを実数とするとき、

　　

が成り立つ。

 

【補足】

fを集合Xから空でない集合Yへの写像とする。

x₁、x₂∈X、kを実数とするとき、

　　

が成り立つときfをXからYへの線形写像という。

f(x)=axとすると、

　　

したがって、線形写像、１次変換はf(x)=axの拡張になっていることが分かる。

 

問１　１次変換fによってベクトルがそれぞれに写されるとき、fを表す行列を求めよ。】

 

問２　ベクトルをそれぞれを写す１次変換fがある。fによる次のベクトルの像を求めよ。

【解】

１次変換fを表す行列をAとすると、

　　

これを１本の式であらわすと、

　　

したがって、

（解答終）

 

問３　１次変換fによって、異なる４点P、Q、R、SがそれぞれP’、Q’、R’、S’に写されるとする。このとき、次のことを示せ。

（１）　線分PQをm:nに内分する点Tは、fによって、線分P’Q’をm:nに内分する点T’に写される。

（２）　

【略解】

点P、Q、R、Sの位置ベクトルを、それぞれ、とすると、点P’、Q’、R’、S’の位置ベクトルは

　　

 

（１）　線分PQをm:nに内分する点Tの位置ベクトルはであるから、fによる像は

　　

したがって、線分PQをm:nに内分する点Tは、fによって、線分P’Q’をm:nに内分する点T’に写される。

 

（２）　PQとRSは平行だから、ある実数k≠0が存在して

　　

である。

（略証終）

 

では、

互いに直交するベクトルの、１次変換fによる像をとするとき、とは直交するだろうか。

１次変換fを表す行列を、とすると、

　　

つまり、一般に、１次変換によって直交性は保証されないことが分かる。

 

問４　平面上の点の写像によって、任意の点P、QがそれぞれP’、Q’に写されるとする。また、fによって原点Oは原点Oに写され、任意の実数m、n（m+n≠0）について、線分PQをm:nの比に分ける点は線分P’Q’をm:nの比に分ける点に写される。このとき、次のことが成り立つことを示せ。

【解】

とすると、題意より

　　

 

（１）　線分OPをk:1−kに内分する点の位置ベクトルは

　　

したがって、

　　

 

（２）　線分PQを１：１に内分する点の位置ベクトルは

　　

したがって、P’Q’の中点の位置ベクトルは

　　

（１）より

　　

①と②より、

　　

【解答終】

 

 

問題　次のうち、線形写像であるものはどれか。ただし、とする。

【解】

（１）　線形写像ではない。

なぜならば、

　　

 

（２）　線形写像である。

なぜならば、

　　

 

（３）　線形写像ではない。

とすると

　　

①と②は一般に等しくないので、この写像は線形変換ではない。

（解答終）

 

問題の（３）は線形写像ではないけれど、

とすると、

　　

が成立し、線形写像に近い性質を持っている。