ワンポイントゼミ 原点を通る直線の対称移動２

ワンポイントゼミ　原点を通る直線の対称移動２

 

問題　R²のベクトルの内積をとする。を長さ１のベクトルとし、直線による折り返し写像をとする。

（１）　次の関係が成立することを示せ。

　　

（２）　Tが線形写像（１次変換）であることを示せ。

【解】

（１）　原点を通る直線Lに関して点と対称な点をとする。

問題の条件より、

　１　との中点は直線L上にある

　２　とは平行（※）だから、

 　　

は直線L上にあるので、

　　

また、

　　

①より、

　　

したがって、

　　

 

（２）

　　

したがって、fは線形写像（１次変換）である。

（解答終）

 

（※）　直線L（の方程式）はだから、直線Lとは直交し、と直線Lは直交するので、とは平行である。

 

 

幾何的には、原点を通るに平行な直線に点Pからおろした垂線をHとすると、

　　

となる。

 

図を見るとわかるとおり、点Pと点P'の中点をMとすると、

　　

したがって、

　　

 

このことをベクトルの演算で求めたのが問題の（１）である。

 

この図の場合、とは逆向きのベクトルになっているけれど、の値によって、つまり、とのなす角度によって同じ方向になったり、逆方向になったりする事に注意！！

図形的な解法だと、こうした位置関係が問題になるので、注意が必要。

 

大学入試で、このような問題が出題されたら、限りなく全滅に近いかもしれない（笑い）。

だって、高校生の多く――理系の大学生の多くですら――はベクトルが苦手で、内積はうまく使えないもん。

 

【公式至上主義者向けの力技による（１）の別解】

とすると、直線Lの方程式の方程式は

　　

cosφ≠0のとき、

　　

ここで、m=tanφとおくと、y=mxに関する折り返しを表す行列は

　　

だから、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

一方、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

また、cosφ=0のときは、はx軸に平行な単位ベクトルとなり、直線はy軸。

このとき、

　　

となる。

よって、

　　

（別解終）

 

このように、公式に基づき、力技だけでこの問題を解くこともできる(^^)

 

 

 

 

どうせ、お前ら、こんな解答が好きなんだろう？

 

（※）　のとき、を計算すると、これが成立することを確かめるように！！

 

読むと呪われる

の計算は、どこかセンスが悪い。

　　

別解を作っているとき、かなり強い不満を憶えた。

そこで、次のようにしてみた。

　　

計算は楽になっていないけれど、なんとなく格好良くてオシャレだにゃ。

内積は実数（スカラー）だから

　　

と交換ができ、

　　

も成り立つので、やましいことは何もやっていない。

ということで、

　　

ではなく、

　　

とした方がいいに違いない。

 

ところで、この変換は、

　　

とおくと、

　　

となる。

ここで、で単位行列。

 

を平面上のベクトルとすれば、

　　

は、原点を通る単位ベクトルに垂直な直線の方程式。

を空間のベクトル、つまり、R³のベクトルとすれば、（２）式は、原点を通る単位ベクトルに垂直な平面の方程式になる。

そして、

　　

とすれば、

　　

そして、

　　

さらに、

　　

とすれば、

　　

この写像は何を表しているんだろう。

 

（１）をテンソル的に書き換えれば、

　　

ここで、

　　

で、クロネッカーのデルタと呼ばれるもの。

 

試しに、とすると、

　　

このとき、が表すのはyz平面で、（４）式はyz平面(x=0)に関する対称変換を表しているではないか。

 

ということは、空間ベクトルの場合、（１）式で表される写像は、原点を通るに垂直な平面に関する対称移動を表している(・・?

 

本当だろか？

 

 

 

では、

点を通り単位ベクトルに垂直な直線（平面）、

　　

の場合、変換式（１）はどのように書き換えたらいいのだろうか。

これを求めよ。

 

 

だから、最初に、読むと呪われると警告したんだケロ！！

 

今さら手遅れさ！！