［線形代数ってなにさ？_5］

［線形代数ってなにさ？_5］

 

５．線形写像の標準分解

　準備段階が済んだので、ここから具体的な話を始められます。内容はかなりブルバキの影響を受けてます。写像の標準分解がそれです。線形写像の標準分解を使うと、線形代数の構成への見通しが格段に良くなるが、持論です。ここが線形代数前半の山です！。

 

　線形写像fを行列っぽく見せるためにＡで表します。Ａxはf(x)の事です。また以後の話はn次元ベクトル空間ＶからＶへの線形写像Ａ：Ｖ→Ｖに限定します。このようなＡは線形変換と呼ばれます。手始めに核空間です。

 

［定義-12］

　Ａx＝0を満たすx∈Ｖの全体をＡの核と言い、ker(Ａ)で表す。ker(Ａ)は部分空間になる。

 

　Ａx＝0かつＡy＝0とします。

　Ａ(x＋y)＝Ａx＋Ａy＝0＋0＝0だからx＋y∈ker(Ａ)。

　Ａ(λx)＝λＡx＝λ･0＝0だからλx∈ker(Ａ)。

　従ってker(Ａ)は部分空間。

 

　そして像空間。

 

［定義-13］

　任意のx∈Ｖに対するＡx∈Ｖの全体をＡの像と言い、Image(Ａ)で表す。Image(Ａ)は部分空間になる。

 

　Ａx∈Image(Ａ)かつＡy∈Image(Ａ)とします。

　Ａx＋Ａy＝Ａ(x＋y)＝でx＋y∈Ｖは自明だから、Ａx＋Ａy∈Image(Ａ)。

　λＡx＝Ａ(λx)でλx∈Ｖは自明だから、λＡx∈Image(Ａ)。

　従ってImage(Ａ)は部分空間。

 

　写像の一般論として、1対1写像の事をここでは単射，上への写像の事を全射といいます。全単射（1対1かつ上への写像）なら逆写像（逆関数）がある事、およびその逆は当然とします。

 

［定理-2］

　Ａが単射である条件は、ker(Ａ)＝{0}。

［証明］

　Ａが単射である条件は、Ａx＝Ａyならx＝yを示す事。

　Ａx＝ＡyならＡ(x－y)＝0。従ってx－y∈ker(Ａ)。よってker(Ａ)＝{0}ならx－y＝0でＡは単射。

　逆にＡが単射なら、Ａ0＝0は自明なのでker(Ａ)＝{0}。

［証明終］

 

［定義-14］

　ker(Ａ)＝{0}となるＡは、正則と呼ぶ。従って、Ａが正則⇔Ａが単射。

 

［定理-3］

　Ａが単射なら、独立なベクトル集合を独立なベクトル集合へ移す。

［証明］

　{v₁，v₂，・・・，v_n}を独立とする。Ａの線形性から、

とすると、{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}が従属ならどれかのλ_jが0でなくてよいが、Ａは単射なので、

がどれかのλ_jが0でなくても成り立つ事になり、{v₁，v₂，・・・，v_n}が独立でなくなる。これは不可。

　従って{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}が独立になる事が必要。

［証明終］

 

［定理-4］

　Ａが単射なら全射。

［証明］

　{v₁，v₂，・・・，v_n}をＶの基底とする。

　［定理-3］から{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}は独立であるが、Ａ：Ｖ→Ｖなので{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}はＶから作れる最大本数の独立なベクトル集合となりＶの基底である。

 

　Ａが全射である条件は、任意のy∈Ｖに対してＡx＝yとなるx∈Ｖがある事。

　{Ａv₁，Ａv₂，・・・，Ａv_n}はＶの基底なので、任意のy∈Ｖについて、

となる基底表現が存在する。Ａの線形性から、

は自明なので、Ａx＝yとなる、

x∈Ｖが存在することになりＡは全射。

［証明終］

［定理-5］

　Ａが全単射なら、Ａ^-1Ａ＝ＡＡ^-1＝ＥとなるＡ^-1がある。ここにＥは恒等写像。

　逆に上記を満たすＡ^-1があれば、Ａは全単射。

［証明］

　当然。

［証明終］

　ここまでの結果をまとめます。

 

［系-1］

　以下は線形変換Ａ：Ｖ→Ｖにおいて同値。

　Ａが正則 ⇔ ker(Ａ)＝{0} ⇔ Ａは単射 ⇔ Ａは独立なベクトルを独立に移す ⇔ Ａは全射 ⇔ Ａ^-1あり。

［証明］

　［定義-14］と［定理-2～5］による。

［証明終］

 

　次の定理が線形変換の標準分解になりますが、必要な用語を写像の一般論からもう一個持ってきます。

　写像f：Ｘ→Ｙの定義域ＸをＤ⊂Ｘに制限した写像g：Ｄ→Ｙを、fのＤへの制限（縮小）と呼び、g＝f|_Ｄで表します。Ｄ上では明らかにf(x)＝f|_Ｄ(x)。

 

［定理-6］

　Ａの核ker(Ａ)には直和補空間Ｒ(Ａ)が存在する。Ａ|_Ｒ(Ａ)：Ｒ(Ａ)→Image(Ａ)は正則で全単射。

　従って(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1が存在する。

　Ａが正則である条件は明らかにker(Ａ)＝{0}で、このとき(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1＝Ａ^-1かつImage(Ａ)＝Ｖ（図-1）。

［証明］

　Ｒ(Ａ)の存在は、前回の［定理-1］による。

　Ａ|_Ｒ(Ａ)が正則は、ker(Ａ)とＲ(Ａ)とＡ|_Ｒ(Ａ)の定義から、ker(Ａ|_Ｒ(Ａ))＝Ｒ(Ａ)∩ker(Ａ)＝{0}だから。

　Ａ|_Ｒ(Ａ)が全単射は、Image(Ａ)に対して［定理-4］と同じ状況。(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1の存在は［系-1］。

　最後に繰り返しになるが、ker(Ａ)＝{0}ならＲ(Ａ)＝ＶだからＶでＡは正則。このとき(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1の定義より(Ａ|_Ｒ(Ａ))^-1＝Ａ^-1は自明。Image(Ａ)＝Ｖなのは［系-1］による。

［証明終］

 

図-1 線形変換の標準分解

 

　自分の意見では、図-1が線形写像の全てです。この図は、定義域の中で核空間を除外すれば任意の線形写像は、全単射で逆行列を持つと言ってます。核空間は{0}に写像するだけですから、実質的に使いたいのはそうでない部分ですよね？。そこが常に全単射で逆行列を持つという、素晴らしい性質です。

 

次の定理は勝手に次元定理と呼んでますが、[系-1][定理-6]と同等です。

 

［定理-7］

［証明］

　Ｖの次元は明らかにdim(ker(Ａ))＋dim(Ｒ(Ａ))。Ａ|_Ｒ(Ａ)：Ｒ(Ａ)→Image(Ａ)は全単射だから、［系-1］よりＲ(Ａ)の基底をImage(Ａ)の基底に移すので、dim(Ｒ(Ａ))＝dim(Image(Ａ))。よって、

［証明終］

 

　これでベクトル空間の固有空間による直和分解に進む事ができます。