ワンポイントゼミ 行列の固有値と固有ベクトル

ワンポイントゼミ　行列の固有値と固有ベクトル

 

Aを（２次の）正方行列とする。

　　

を満たすkを行列Aの固有値、をkに対する固有ベクトルという。

はと変形できるから、が存在するための必要十分な条件は

　　

である（註１）。

とすると、

　　

だから、

　　

これを行列Aの固有方程式という（註２）。

 

（註１）

行列式｜A−kE｜≠0のとき、A−kEは逆行列を持つ。

　　

となり、に反する。

 

（註２）

ケイリー・ハミルトンの公式

　　

と、（２）は同じ形をしている事に注意。

 

 

問　次の行列の固有値と、固有値に対する固有ベクトルを求めよ。

【解】

とし、kをAの固有値、kに対する固有ベクトルをとする。

 

（１）

　　

(x,y)が(0,0)以外の解を持つためには、

　　

①は

　　

k=1のとき、

②、③式より0x=0、y=0。

したがって、固有ベクトルは

k=2のとき、

②、③式より、−x=0、0y=0。

したがって、固有ベクトルは

 

（２）

　　

(x,y)が(0,0)以外の解を持つためには、

　　

k=2のとき、

　　

k=7のとき

　　

したがって、固有ベクトルは

　　

 

（３）

　　

①が(x,y)=(0,0)以外の解を持つためには

　　

k=1のとき、①は

　　

したがって、固有ベクトルは

　　

（解答終）

 

定理

（２次の）正方行列Aの固有値が相異なる実数のとき、それに対する固有ベクトルは１次独立である。

【証明】

Aの相異なる２実根をλ₁、λ₂とし、λ₁、λ₂に対する固有ベクトルをそれぞれとすると、

　　

そこで、の一次結合を

　　

とすると、

　　

を消去するために、①×λ₂−②を計算すると、

　　

だから、

　　

a=0だから、①は

　　

だからb=0。

したがって、とは１次独立である。

（証明終）

 

上の定理より、問の（１）、（２）で求めた固有ベクトルは互いに１次独立であることがわかる。

h=1、l=1とすると、（１）の固有ベクトルはが１次独立であることは明らか。

また（２）の固有ベクトルの１次結合を作り、それをと置くと、

　　

になる。

とおくと、｜A｜=1・1−2・(−1)=3≠0だから、Aは逆行列を持ち、

　　

となり、 １次独立である。

 

今すごく大切なことをさり気なく書いていたけれど、列ベクトルが１次独立か否かの判定は、から作った行列

　　

の行列式

　　

の値から、｜A｜≠0ならば１次独立、｜A｜=0ならば１次従属と判定できる！！