［線形代数ってなにさ？_4］

［線形代数ってなにさ？_4］

 

４．部分空間は直和のためにある

　今後、線形写像と行列は区別なく用います。どっちの事を言ってるのかは、文脈で判断して下さい。

 

　最後の準備段階です。準備段階なので「後で役に立つからやるんだ」と定理と定義を受け入れて下さい（心苦しいですが）。

 

［定義-6］

　ベクトル空間Ｖ（それは集合でもありました）の部分集合Ｗ⊂Ｖで、Ｗがベクトル空間になるものをベクトル空間Ｖの部分空間と言う。

 

　部分空間Ｗの特徴づけは簡単です。要するにベクトル空間の［定義-1］を満たせばいいんですよ。念のため再記すると、

 

［定義-1］

　ベクトル空間（線形空間）Ｖとは、集合Ｖと体Ｋのペアがあり、次の公理を満たすもの。

(V1) a，b∈Ｖなら、a＋b∈Ｖ。

(V2) a，b，c∈Ｖとして、(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。

(V3) 0∈Ｖがあり、任意のa∈Ｖについて0＋a＝a＋0＝a。

(V4) 任意のa∈Ｖについて、－a∈Ｖがあり(－a)＋a＝a＋(－a)＝0。

(V5) a＋b＝b＋a。

(V6) 任意のα∈Ｋとa∈Ｖについて、αa∈Ｖ。

(V7) α，β∈Ｋ、a∈Ｖとして、(αβ)a＝α(βa)。

(V8) α，β∈Ｋ、a∈Ｖとして、(α＋β)a＝αa＋βa。

(V9) α∈Ｋ、a，b∈Ｖとして、α(a＋b)＝αa＋αb。

(V10) 1をＫの単位元として、1a＝a。

 

ですが、Ｗ⊂Ｖですからね。Ｗのメンバーはみんなベクトルです。そうすると(V2)～(V5)，(V7)～(V10)は自明じゃないですか。残るのは(V1)と(V6)のみです。こればっかりは、やってみなけりゃわかりません。よって、

 

　aとb∈Ｗ，α∈Ｋとして、a＋b∈Ｗかつαa∈Ｗならば、Ｗは部分空間である。

 

証明終わり！(^^)。

 

　次は完全なる用語の定義です。

［定義-7］

　0∈ＶのみからなるＶの部分集合{0}は部分空間である。これを{0}空間と呼ぶ。

 

　エッ、証明しろ？。0＋0＝0∈{0}，α0＝0∈{0}だから・・・。

 

　こっから本題です。Ｖの基底Ｂ＝{v₁，v₂，・・・，v_n}を考えます。ＢはＶの任意のベクトルを表現できる能力があります。例えばＶの二つの部分空間Ｗ₁とＷ₂があった場合、w₁∈Ｗ₁とw₂∈Ｗ₂について、

 

 

(1)

 

という基底表現があります。ここで添え字k1，k2，・・・，kpとL1，L2，・・・，Lqは、Ｗ₁とＷ₂を表すのに必要なＢのメンバーの一部を取り出したという意味です。Ｗ₁とＷ₂はＶの部分集合でもある訳ですから、普通に考えたら{v₁，v₂，・・・，v_n}の全部を使う訳ないですよね？。それから(1)で表されるw₁やw₂をいくら足しても、またスカラー倍しても(1)の形になるので、部分空間の［定義-6］と矛盾しないのもわかりますよね？。

　ここにもう部分空間の意図が見えています。基底とは抽象化された座標軸でした。要するに部分空間とは、部分座標軸による表現です。3次元空間で(x，y，z)座標じゃなく、xy平面で考えたい場合もあるよねぇ～、という話に対応するものです。

 

　添え字k1，k2，・・・，kpに対応する基底を集めたベクトル集合をＢ₁，L1，L2，・・・，Lqに関するものをＢ₂とします。Ｂ₁とＢ₂はＢの部分集合（部分基底）で、もちろん基底の定義から独立なベクトル集合です。

　部分空間Ｗが部分基底Ｃで(1)のように表現される時、ＷはＣで張られると言います（本当はもう少し広い意味で使われますが）。

 

　Ｗ₁を張るＢ₁と、Ｗ₂を張るＢ₂の共通メンバー（Ｂ₁∩Ｂ₂）は、あるかないかのどちらかです（Ｂ₁∩Ｂ₂≠φかＢ₁∩Ｂ₂＝φのどちらか）。

　Ｂ₁∩Ｂ₂≠φの場合、共通メンバーだけ取り出してまた(1)の形を作ってやれば、それらはＷ₁とＷ₂の両方に含まれるのは明らかなので、Ｗ₁∩Ｗ₂≠φです。

　Ｂ₁∩Ｂ₂＝φの場合、Ｗ₁∩Ｗ₂＝φになるのかと思いきや、Ｗ₁∩Ｗ₂≠φです。それは0ベクトルが任意の部分空間Ｗに含まれるからです。定義からα＝0かつa∈Ｗとして、αa＝0・a＝0∈Ｗだからです。これは(1)で全ての係数を0としたケースです。しかしＷ₁∩Ｗ₂＝{0}にはなります。

 

　証明します。v∈Ｗ₁∩Ｗ₂は0になる事を示します。(1)の左辺のw₁とw₂をvとした式を想像します。等しいので等置し移項すれば、Ｂ₁∩Ｂ₂＝φなので独立・従属のところでしつこくやった線形和の形です。そしてＢ₁∪Ｂ₂⊂Ｂです。基底の定義より(1)の係数は全て0。従ってv＝0。Ｗ₁∩Ｗ₂＝{0}。

 

［定義-8］

　Ｗ₁，Ｗ₂⊂Ｖを部分空間として、Ｗ₁∩Ｗ₂＝{0}となるものを互いに独立な部分空間と呼ぶ。

 

　証明はしませんが、Ｗ₁の任意のベクトルとＷ₂の任意のベクトルが独立なのは明らかですよね？。3次元空間でz方向の任意のベクトルとxy平面の任意のベクトルが独立なのは明らかですよね？。z軸とxy平面が、Ｒ³の部分空間である事も。Ｗ₁とＷ₂の共通分に自明でない（0でない）ベクトルがあるって事は、張る基底の一部がダブッテルって事です(^^)。

　一般には互いに素な部分空間と言うようですが、自分は［定義-8］の呼び方がぴったりきます。

 

［定義-9］

　Ｗ₁とＷ₂を部分空間、w₁∈Ｗ₁，w₂∈Ｗ₂として、w₁＋w₂全体の集合Ｗを、部分空間Ｗ₁とＷ₂の和空間と呼び、Ｗ＝Ｗ₁＋Ｗ₂で表す。和空間は部分空間である。

 

　あくまで基底ベースで考えましょう。Ｗ₁を張る基底とＷ₂を張る基底の全部を使って、Ｗを張ったと言ってるだけです。ところで部分空間のスカラー倍はなんでないんでしょう？。部分空間の任意ベクトルのスカラー倍は、定義から元の部分空間に戻っちゃうからです(^^;)。

 

［定義-10］

　ＷがＷ₁とＷ₂の和空間であり、Ｗ₁とＷ₂が互いに独立なとき、ＷはＷ₁とＷ₂の直和であるといい、

　

 

で表す。これを「Ｗは、Ｗ₁とＷ₂へ直和分解された」とも言う。

 

　ＷがＷ₁とＷ₂の直和でない場合、Ｗ₁とＷ₂のベクトルには重複するものも沢山ある訳ですから、Ｗ＝Ｗ₁やＷ＝Ｗ₂やＷ＝Ｗ₁＝Ｗ₂もありえます。

 

［定義-11］

　ベクトル空間をＶとして、

　　

であるとき、Ｗ₁はＷ₂の（Ｗ₂はＷ₁）の直和補空間であると言う。

 

　ただの補空間なる用語もありますが、わかりますよね？。基底概念は座標軸の一般化でした。部分空間はそれを束ねたものです。なので「ベクトル空間の部分空間による直和分解」は、基底概念の一般化と思えませんか(^^)。ベクトル空間を適当な部分空間で直和分解し、線形写像（行列）の作用を自明にする事、それが固有空間への直和分解であり線形代数前半の最終目標です。部分空間は、直和を定義するためにあります。

 

　以下の定理に特殊ケースを作りたくないので、次の約束を行います。0ベクトルは任意の部分空間Ｗに含まれるのでＷ∩{0}＝{0}です。またＷ＝Ｗ＋{0}も明らかです。［定義-8］に従い、これも直和だとみなします。すなわち直和分解、

　　

はいつでも成り立つとします。

 

 

［定理-1］

　ベクトル空間Ｖの任意の部分空間Ｗには、{0}空間も含めれば直和補空間Ｕが必ず存在する。

［証明］

　Ｖの基底をＢとし、Ｗを張る部分基底をＢ₁⊂Ｂとする。ＢにおけるＢ₁の補集合Ｂ₂＝C_ＢＢ₁（ブルバキ式の記法です(^^;)）でＵを張れば良い。Ｂ₂＝φならＵ＝{0}。

［証明終］

 

　［定理-1］はＶがベクトル空間であればどこでもOKの定理です。ＶがＶの部分空間Ｗであっても。部分空間Ｗの中の部分空間が可能なのはもう明らかだと思います。その部分空間はＶでの部分空間と同じです。部分空間Ｗの中でＳ⊂Ｗの直和補空間を考えたい時は、ＷでのＳの直和補空間Ｕという言い方をします。