物理的な微分方程式の大学入試問題 [高校の微分積分]
物理的な微分方程式の大学入試問題
ねこ騙し数学では、物理学の力学の話題で盛り上がっているので、大昔の大学入試で出題された、微分方程式の力学的な問題を紹介することにする。
問題 x軸上を運動している点があって、時刻tにおける店の座標zが
（１） 運動の速度を
とすると、v²+ω²x²は一定であることを示せ。
（２） 微分方程式①の解をx=f(t)とするとき、f(0)=a、f'(0)=bとなるような関数f(t)があるとすれば、それはただ１つであることを示せ。
（３） 任意の実数A、Bに対して
が①の解となるように、定数kの値を定めよ。また、それを利用して、f(0)=a、f'(0)=bとなるような運動の式x=f(t)を定めよ。
【解答例】
（１）
これを①式に代入すると、
よって、v²+ω²x²は一定である。
（２） x₁=f₁(t)、x₂=f₂(t)を①の解とすると、
となるので、
も微分方程式①の解となり、
（１）より、x²+ω²x²は一定だから、
f(t)=f₁(t)−f₂(t)=0だから、f₁(t)=f₂(t)となり、解は１つである。
（３） 
とすると、
だから、k=ωとすれば、
を満足する。
そこで、
とおくと、
問題の条件より、
だから、
よって、ω≠0のとき
ω=0のとき、微分方程式①は
となり、f(0)=a、f'(0)=bとなるようにC₁、C₂を定めると、C₁=b、C₂=a。
よって、
（解答終）
この問題の（１）は、物理では次のように解くのが主流派。
【（１）の別解】
運動方程式
の両辺にvをかけると、
（別解終）
運動方程式の両辺に速度vをかけて、その積分を求める操作を、物理のほうではエネルギー積分と呼んだりする。
――数学的にいうと、
は、運動方程式①の積分因子――
そして、（１）は、（力学的）エネルギー保存則を表している。
というのは、⑨の両辺にm/2（mは質点の質量）をかけると、
となるからだにゃ。
上の式の第１項の
は運動エネルギー、第２項の
は（１次元の）調和振動子の位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）を表していて、上の式は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定、時刻tによらず不変であること、つまり、（力学的）エネルギーが保存されることを表している。
そして、（２）は、エネルギー保存則を用いて、微分方程式①の初期値問題の解が１つに定まることを示している。
この大学入試問題は、範囲逸脱の感が強くて、大学入試問題としてはどうかという気がするけれど、奥深い内容を含んだ問題である。
また、バネ定数kのバネに質量mの物体がつけられ、単振動するとき、運動方程式は
となるので、
この方程式と①を比較することにより、
であることがわかる。このωを角速度、角振動数という。
問題の（３）より、初期条件x(0)=a、x'(0)=bを満たす解は
であり、これは2π/ωを周期にもつ周期関数。
したがって、微分方程式②の解、すなわち、バネ定数kのバネの単振動（ばね振り子）の周期Tは
であることがわかる。
お前ら、この問題を解くにゃ 微分積分 [高校の微分積分]
ネムネコが高校生のときに使っていた参考書を覗いていたら、「ちょっと面白い（総合）問題だな」と思う問題を見つけたので、解いてみるといいにゃ。
問題 半径１の半球がある。いま、底面に平行な平面αで切ったとき、２つの部分が等しくなったとする。
（１） xのみたす方程式を導け。
（２） 右のグラフを用いて、xの方程式を求めよ。なお、求め方も述べよ。
（３） （２）で求めたxの近似値を用いて、その値を小数第２位まで正確に求めよ。
カビが生えるほど古い問題でだけど、難しい問題ではないので、チャレンジしてみるといいと思うにゃ。
解けたヒトは、解答をコメント欄に書いて送信すると、ネムネコがそれを清書し（場合によってはグラフなどもつけて）、このブログで紹介するにゃ。
お前らに問題（６月９日）の解答例 積分を使う [高校の微分積分]
お前らに問題（６月９日）の解答例 積分を使う
問題 x>0のとき、次の関係が成り立つことを示せ。
最も基本的な解答は、次のようなものだろう。
【解答例１】
とおき、xで微分すると、
したがって、f(x)は、0<x<1のとき減少、1<xのとき増加する。
よって、f(x)はx=1のとき、極小かつ最小。
ゆえに、
（解答終）
また、次の解答例のように、平均値の定理を用いた解答も作ることができるだろう。
【解答例２】
x=1のとき、（１）の等号が成立する。
0<x<1とし、(x,1)に対して平均値の定理を用いると、
であるξが存在する。
このとき、1<1/ξ<1/xだから
1<xのとき、同様に、(1,x)に対して平均値の定理を用いると
このとき、1/x<1/ξ<1だから、
以上のことから、
等号成立はx=1のとき。
（解答終）
さらに、積分を使うのならば、次のような解答を作ることもできるだろう。
【解答例３】
x=1のとき、（１）で等号が成立するのは明らか。
0<x<1とし、t∈(x,1)とすると、
よって、
1<xとし、t∈(1,x)とすると、
よって、
したがって、
等号成立はx=1のとき。
（解答終）
このように、積分を用いて、問題の不等式を示すことができる。
解答１が最もシンプル、かつ、わかりやすいので、解答２、解答３のようにわざわざ難しくして証明する必要はない。しかし、積分を用いると、次のような不等式を簡単に作り出せたりもする。
x>0とし、t∈(0,x）とする。
このとき、
だから、
x<0とし、t∈(x,0)とすると、
だから、
x=0のとき、等号が成立するので、
という不等式を得ることができる。
特に注目して欲しいのは
という不等式。
x>0のとき、この両辺を積分すれば、
そして、これをさらに積分すると、次の不等式が得られ、
これを繰り返すことによって、
という不等式を自然に得ることができるのであった。
そして、宿題！！
宿題 aを実数の定数とする。次の方程式の解の個数を調べよ。
右の図は挿絵。
紙面がすこし寂しく見えたので、挿絵を入れただけだケロ。
受験数学でよく用いられる、
「x=−1は解でないから、上の方程式と下の方程式は同値。
したがって、この方程式の解の個数は、曲線
と
の共有点（ここで、交点という言葉を使うと、文句をつけるヒトがいる！！）の数と一致する。
うんぬん、云々・・・」
というテクニックを用いると、思わぬところで足元を掬われるかもしれない(^^)
あなたは次の超越方程式を解けるだろうか。
この解に気付けば別だけれど(^^)
そして、上の図も挿絵であることは言うまでもない！！
お前らに問題（６月９日）！！ [高校の微分積分]
お前らに問題（６月９日）！！
問題 x>0のとき、次の関係が成り立つことを示せ。
簡単な問題だからすぐに解けると思うが・・・。
として、この関数の増減を調べて証明するもよし、どうやって示そうが自由だケロ。
中には、わざわざ、
と変形して解こうとするヒトもいるかもしれない。
さらにぶっ飛んでいるヒトは、
x>0のとき、
として解こうとするかもしれない。
つ・ま・り、この問題は、微分を使わずに、積分を使って解くことだってできる！！
ところで、今日は６月９日だね〜。
６９だにゃ。
ということで、
問題を解くまでの間のBGMとしてこの曲をBGMにするといいと思うにゃ。
「６９」というマジカルワードを唱えてくれるまで何度でも間違えるそうだにゃ。
同じヒトが何度も同じ箇所を間違えたら怒られるだろうから、Aさんの次は、Bさんが。そして、その次は・・・、なんてことをやるのかね(^^)
高校の微分 関数方程式 [高校の微分積分]
高校の微分 関数方程式
問題１ 連続関数f(x),g(x)がすべての実数x、yについて、つぎの性質をもつ。
このとき、つぎのことを証明せよ。
この問題を見ると、
とすると、この条件をすべて満たすことがわかるが・・・。
【解】
（a） y=xとすると、（３）式より
（b） y=−xとすると、
（c）
ここで、g(x)は偶関数で、g(0)=1だから、
また、問題の条件より
よって、
（解答終）
問題２
がつねに成り立つような２つの関数S(x)、C(x)について、次の問に答えよ。
（１） 
（２） S’(0)、C’(0)が存在すれば、S’(x)、C’(x)が存在して、
【解答】
（１） x=y=0とすると、
①より、
C(0)=1/2は
を満たさない。
よって、S(0)=1。
②より、C(0)=0またはC(0)=1。
③より、C(0)=−1またはC(0)=1。
よって、C(0)=1。
（２）
また、
（解答終）
S'(0)=1、C'(0)=0とすると、問題２の（２）より、
①＋②は
①−②は
③と④より、
⑤と⑥を双曲線関数といい、
で表し、
など、三角関数とよく似た性質を有する。
高校の微分に関する問題 sinxは多項式で表わせない [高校の微分積分]
高校の微分に関する問題 sinxは多項式で表わせない
合成関数の微分の証明についてのコメントをいただいたので、高校時代に使っていた数学の参考書を覗いてみた。
そして、次のような問題を見つけた。
問題
（１） sinxは整式（多項式の関数）で表わせないことを示せ。
（２） f(x)は実数全体を定義域とする微分できる関数で、f(1)=0である。
このとき、
とおけば、g(x)は連続関数であることを示せ。
（２）は、たとえば、次のように解けばいいのだろう。
h≠0のとき、f(x)は実数全体で微分可能だから、
よって、f(x)は連続関数。
f(x)とx−1は連続関数で、かつ、x≠1のときx−1≠0だから
は連続な関数。よって、g(x)はx≠1のすべての点xで連続。
また、
だから、g(x)はx=1で連続。
したがって、g(x)は実数全体で連続関数である。
厄介なのは、（１）だケロね。
テーラー展開（マクローリン展開）を知っていれば、sinxは
と無限級数に一意に表せるので、sin xを有限な次数をもつ多項式（整式）で表すことはできない、
ですむのだろうけれど、さすがに、これを大学入試の答案に書くわけにはいかない。
ではあるが、次のようにすれば、高校の数学の範囲になんとかおさめることができるだろう。
もし、
と多項式で表せるのならば、
である。
よって、f(x)は何回でも微分可能で、恒等的に
にならなければならない。
ところで、sin xは
と何回でも微分することができ、g(x)=sin xとおくと、k>nで
となる正の整数kが存在する。
このkをとると、
となり（※）、⑨に矛盾。
よって、sin xは整式（多項式）で表わせない。
ここで、
記号
はf(x)のn次導関数を表す。
（※） k>nのとき、
だから、
である。
とか・・・。
ちなみに、
とすると、
である。
0！=1という、さらに、
というお約束を忘れないように(^^)
または、
とおく。
すると、方程式f(0)=0である実数解はたかだかn個。
しかし、sin x=0の解は無数に存在する。
だ・か・ら、もし、sin xが多項式①の形で表わせとすると、矛盾する。
よって、sin xは多項式で表わせない。
あるいは、
だから、sin xが多項式で表せたとすると、x→∞のときにsin xは発散してしまう。
しかし、
で、x→∞のときに、＋∞や−∞に発散しない。
――sin xには、この極限値が存在しない。だから、この極限が存在しないことを証明に用いても良いだろう。――
よって、矛盾。
したがって、sin xは多項式で表わせない。
まぁ、こういったところでしょうか。
同様に、cos xが多項式で表わせないことを示すことができるだろう。
「オレは、こうやって解いた」という証明があったら、コメント欄にその証明を書いて、教えて欲しいケロ。
証明が正しかろうが、間違っていようが、このブログで紹介するにゃ。
ITさんから、今日、このような指摘をいただきました [高校の微分積分]
ITさんから、今日、このような指摘をいただきました。
合成関数の微分」の証明について質問です。
途中 g(x+h)-g(x) が分母に来ますので、
どんなxの近傍にもg(x+h)-g(x)＝0となるx+h(h>0)がある場合（たとえばgが定数関数）について分けて考えないといけないのではないでしょうか？
この問題箇所は次のところ。
次に、より一般の合成関数y=f(g(x))の微分公式を求めることにする。
――インチキが入っています(^^ゞ――
y=f(u)、u=g(x)がともに微分可能であるとする。
とおくと、
Δx→0のとき、Δy→uだから
これを上式に代入すると、
よって、
である。
したがって、
定理 （合成関数の微分）
y=f(u)、u=g(x)がともに微分可能であるとき、合成関数y=f(g(x))の微分は
である。
ITさんの指摘にある通り、上の証明にはアラがあるんだよね〜。
だ・か・ら、記事の中に「――インチキが入っています(^^ゞ――」と但し書きを書いたのだった。
たとえば、
とすると、このとき、y'=f'(u)=1であり、
だから、f、gともに微分可能である。
そして、
上の定理から、合成写像
は微分可能で、
この結果は正しいのだけれど、
ただし、x≠x₀のとき
となって、
と、ゼロ割りが発生してしまう。
だから、
のとき、合成関数の微分の証明で使用している
が成立しない。
したがって、
ITさんのご指摘の通り、この証明にはアラがあるんだよね〜。
なのだけれど、x≠x₀だから、
よって、
で微分可能になる。
そして、形式的に
と、この問題をクリアーできる。
ただ、こういった合成関数の微分を含めた一般の証明は高校数学の範囲を越えてしまうので、この証明に問題があるのは百も承知で、上記の証明を紹介した次第です。
この定理の正確な証明を知りたいヒトは、たとえば、高木貞治の「解析概論」のp.40などを見て欲しい。
ではあるが、次の怪しげな（？）証明を紹介しておこう。
「解析概論」の証明を煎じ詰めれば、確かに、こうなるわな〜。
なお、dy/dxはdyをdxで割ったものではないので、この点はくれぐれも注意して欲しい。
つまり、２行目の式の両辺をdxで割って最後の式が出たわけではない。
dy/dxはただの記号だケロよ。
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ [高校の微分積分]
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される おまけ
宿題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。
【解】
g(x)=a（実数の定数）とおき、
とすると、これを満たす実数xが存在しなければならない。
（１） a=0のとき、x=0。
（２） a≠0のとき、
xに関する２次方程式①の解は実数でなければならないので、その判別式をDとすると、
a≠0だから、
したがって、
でなければならない。
また、
以上のことより、
（解答終）
a=0のとき、①はxに関する２次方程式でないので、このとき、２次方程式の判別式を用いることはできないことに注意。
g(0)=0、g(1)=1/2、・・・、さらに、曲線の対称性
を用い、g(1)=1/2が最大値、g(−1)=−1/2が最小値に違いないと目星をつけて、次のように解答を作ることもできるのでしょう。
【別解】
すべての実数xに対して、
したがって、
よって、
（別解終）
最大値、最小値の定義を用いた、実に見事な解答！！
そして、
この別解をテストの答案に書いたら、間違いなく、高校の数学の先生の多くは激怒するに違いない(^^ゞ
予想し、その予想が正しいことを証明したのだから、この解答にはなんの瑕疵もない。怒るほうがどうかしていると思う。
微分法を使う解答は次の通り。
【別解２】
増減表
|
x |
・・・ |
−1 |
・・・ |
1 |
・・・ |
|
g'(x) |
− |
0 |
＋ |
0 |
− |
|
g(x) |
減少 |
極小 (−1/2) |
増加 |
極大 (1/2) |
減少 |
また、
ゆえに、
（解答終）
g(x)の２次導関数
の符号を用いて極値の判定をする方法もあるが・・・。
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回 [高校の微分積分]
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される 最終回
そもそも、この一連の記事を書き始めたきっかけになったのは直線群の包絡線が絡む問題だったので、包絡線が絡む、次の問題を解くことでこの終わりにしよう。
問題 tが実数のとき、２点P(t,t)とQ(t−1,1−t)を結ぶ直線は、tにかかわりなく１つの放物線に接すること示せ。
この問題は２点P、Qを通る直線がある放物線の接線になるのだから、誰もが２次方程式の判別式を利用することを思いつくのではないか。
ということで、早速、解いてみよう。
【解】
２点P(t,t)とQ(t−1,1−t)を通る直線の方程式は
放物線の方程式y=ax²+bx+cからyを消去するために、①を代入すると、
直線①は放物線y=ax²+bx+cの接線だから、xに関する２次方程式②の判別式D=0でなければならない。
これが任意の実数tについて成立するので、
よって、
ゆえに、
（解答終）
包絡線が何かを知っているヒト向けの解答は次の通り。
【別解】
の両辺をtで偏微分すると、
①に代入し、tを消去すると
（解答終）
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される６ [高校の微分積分]
ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される６
問題 x>0のとき、
について次の問に答えよ。
（１） 
とおき、pをtの式で表わせ。
（２） （１）の結果を用いて、pの最小値を求めよ。
【解】
（１） 分母分子をx²で割ると
（２） x>0のとき、相加平均≧相乗平均より
そこで、
とおくと、p(t)は（単調）増加関数。
したがって、
したがって、x=1のときpは最小で、最小値は11/2。
（解答終）
この問題では問われていないけれど、上の問題の結果を用いると、
としたとき、この関数は点(0,4)に関して対称なので、この対称性を使うと、x<0におけるf(x)の最大値をf(−1)=5/2と求めることも可能である。
ではあるが、
上の問題のような誘導がないとき、
の最小値を簡単に求めることはできるのであろうか。
もちろん、微分法を使えば、簡単に最小値を求めることができる。
微分を使わずに、この最小値を求める方法を少し考えてみた。
になる。
ここで、一瞬、ネムネコの手が止まる。
――実際、紙と鉛筆は、一切、使っていない。すべて、ネムネコの頭の中での話で、文学的修辞！！――
しかし、その場の思いつきが身上のネムネコ、
とし、この逆数を
とすれば出来るんじゃねぇ、と閃く。
したがって、
ということで、
つまり、親切な誘導がなくても、微分法を使わないでも、
すこし工夫すると、
この問題の最小値は簡単に求められてしまうんだよね。
ちょっと、スゴイと思わない？
ここで問題！！
宿題 次の関数の最大値、最小値を求めよ。
とおくと、
として、２次方程式の判別式を使って解くの、好きでしょっ(^^)
言っておくけれど、相加平均≧相乗平均とg(x)の対称性を利用して解くのは、今回はアウト！！
だって、実質、オレが既に解いてしまっているもの。
微分を使ってもいいけれど、それじゃ〜、ただの計算問題になってつまらないでしょう。
最大値、最小値の定義から迫るもよし、２次方程式の判別式を利用して解こうがよしとするにゃ。
