ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される５

ネムネコ式採点法　判別式を使うと減点される５

 

問題　x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

　　

がとりうる値の範囲を求めよ。

【解答（？）】

0を除く全ての実数の集合をA（関数fの定義域）、関数fによるAの像（fの値域）

　　

とする。

ここでRは実数全体の集合である。

f(x)=k（実数）∈Bとすると、

　　

を満たすx∈Aが存在しなければならない。

　　

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

　　

でなければならない。

b≦0のとき

　　

よって、f(x)がとりうる値の範囲は全ての実数。

b>0のとき、（２次不等式）②の解は

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

２次方程式の判別式を使うならば、少なくとも、これくらいきちんと書いてもらわないと、点数はあげられない。

 

だとしても、この解答、答は間違っている！！

 

何故ならば、b=0のとき

　　

で、この関数はaの値をとりえないからだ。

もし、f(x)=aという値をとるとすると、

　　

となる！！

b=0のとき、f(x)=aとなるxを定義域Bにもっていないんだね〜。だから、aは関数f(x)がとりうる値とされている全ての実数から除去しないといけないのだ。

 

ということで、

b<0、b=0、b>0の場合に分け、

　b<0のとき、f(x)は実数すべての値

　b=0のとき、f(x)<aまたはf(x)>a

　b>0のとき、f(x)≦a−2√bまたはf(x)≧a+2√b

となる。

 

ところで、上の解答（？）で、下線を引き、「xは実数だから」とした。

これは、xに関する２次方程式

　　

が実数解をもつ、つまり、

　　

が空集合でないための条件。

しかし、この問題で求める条件（？）は

　　

や

　　

が空集合でないための条件であり、そして、この問題の場合、D⊂Cであるが、D=Cではない。

 

現に、b=0のとき、Cにx=0が紛れ込んでいるではないか。

そして、これが原因で上の解答（？）は誤答になっている！！

 

　　

の２つの式は同値じゃない。

これは、

　　

としないといけない。

しかも、上の解答（？）を作ったヒトは、CとDが同じと錯覚している。

そして、ほとんど全てのヒトがこの間違いに気づかない。高校の数学教師の多くも・・・(^^ゞ

気づいてたら、「ここは間違っている」という指摘が高校の数学教師などからなされ、出版社（某大手教科書メーカー）は解答を訂正しているだろうから。

教科書や問題集の信用に関わり、その高校で教科書や問題集が採用されなくなるかもしれない。

これは教科書メーカーにとって死活に関わる由々しき事態だにゃ(^^)

 

こういうことが起こることがあるから、

２次方程式の判別式を用いた実数解の条件と問題で求めるべき条件が本当に一致するかの吟味が必要で、そのことを示す、少なくとも確認する必要がある。

こうしたことをよく踏まえた上で２次方程式の判別式を使って解答するのならばいいけれど、実際はそうではないだろう。

受験参考書などに判別式を使って解く解法が示されているので、「このタイプの問題はこうして解くものだ」と鵜呑みにし、その解法を覚えこんで解いているに過ぎないのではないのか。

 

その点、グラフを用いた解答（？）は強い。自分が何を求めているのかが明確になる。

なんたって視覚に直接訴える、即物的な解き方だから。

　　

と変形し、お絵かきをすると、正しい答えまで導いてくれる。

b=0のとき、

　　

右図の白丸◯の点(0,a)は除く。

b>0、x>0のとき、

　　

さらに、

　　

とおけば、

　　

g(x)は、奇関数であり、原点対称だ。

したがって、

　　

等号が成立するのはx=−√b。

よって、

　　

ゆえに、

　　

なんて、すぐに見当がつく。

b<0のとき、f(x)が実数すべての値をとることはグラフから明らか。

 

このことをまとめた上で、右のグラフを示せば、申し分のない解答になるのではないか(^^ゞ

　――「このように図、グラフを頼りにする解法は、厳密でないから、けしからん」と批判するヒトがいるかもしれない。しかし、ネムネコが採点者ならば、満点を付けた上に、大きな花丸まで付けてあげる(^^)――

 

こういう解答がいいと言っているのではない。

２次方程式の判別式を使ってこの手の問題を解くときには、「自分がいま求めているものは何なのか」という明確な自覚をもったうえで、細心の注意をはらうことが必要だと言いたいのだ。

そうでないと、時に、こういう落とし穴にハマってしまうということがあるのだ。

 

大学受験や高校の定期試験のときは時間的制約があるのでこういうことはできないだろうけれど、家で勉強するときは、たとえば、a=1、b=1、a=2、b=1、・・・という具体的な値を入れて、

　　

フリーハンドでいいから、実際に、この曲線のグラフをいくつかかいてみることは重要だと思う。

そして、自分の頭で答の予想をし、できるところまで解いてみる。

 

 

すくなくとも、方針が立たないから、解法事典のように、すぐに参考書を見るということだけは絶対に止めたほうがいい、と思う。

こんなことをいつまでも繰り返していたら、参考書の（解法の）の奴隷になり、やがて、参考書（の解法）に忠実なイヌに成り下がってしまう。

 

 

なお、微分法を使った解答は、おそらく、ddt³さんが送ってくれると思うにゃ。

 

 

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される４

ネムネコ式採点法　判別式を使うと減点される４

 

問題　x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

　　

がとりうる値の範囲を求めよ。

【解答（？）】

f(x)=k（実数）とおくと、

　　

よって、

　　

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

　　

でなければならない。

b≦0のとき

　　

よって、f(x)がとりうる値の範囲は全ての実数。

b>0のとき、②より

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

教科書や大学生向けの数学の教科書を出版する、有名な某出版社の解答――４行しかない解答なので、ネムネコが内容を追加しある――である。

 

正しければ、何とも鮮やかなものだ(^^)

 

さて、ここで問う。

この解答、ならびに、答は正しいか。

 

「ネムネコが、わざわざ、こう問うくらいだから、この解答、答は間違っているに違いない。よしんば、間違っていないとしても、解答に不備、言葉足らずの箇所があるに違いない。」

 

こう勘ぐるヒトもいるかもしれない。

しかし、ネムネコは

ウサ！！
ただこの解答に難癖をつけ、引っ掻き回したいだけかもしれないウサ。

ネムネコ式採点法 判別式を使うと減点される３

ネムネコ式採点法　判別式を使うと減点される３

 

お前ら、次の問題を解くにゃ。

 

問題　x≠0である全ての実数をxに対して定義された関数

　　

がとりうる値の範囲を求めよ。

 

見るからに

 

　　

とすると、

　　

xは実数だから、①の判別式をDとすると、

　　

b<0のとき

　　

だから・・・。

b◯0のとき

　　・・・

と解いて欲しい問題のようですが(^^)

 

これだけヒントを出してやったのだから、最後まで解けよな。

そして、きちんと答案を書いて、その答案をコメント欄に書いて送信するように。

 

なお、この記事のタイトルに注意するように。

ネムネコは、判別式を用いた解答は超〜厳しく採点するので、くれぐれもこの点をお忘れなく(^^)

判別式を使った解答を見ると、眼の色、目付きが変わるにゃ。

鬼になるので、注意するにゃ。

「ネムネコ式採点法 ２次方程式の判別式を使うと減点される」の問題の解答例

「ネムネコ式採点法　２次方程式の判別式を使うと減点される」で、

方程式

　　

が、正の解xを持つための（必要十分）条件を求めよ

という問題を出したのだけれど、この問題、解けたケロか？

 

ネムネコが宿題を出しても誰も解かないというのが、このブログの訪問者の流儀だから、答を教えてやるにゃ。

 

【微分を使わない解答】

x>0のとき、

　　

また、

x>0のとき、

　　

よって、

方程式①（②）が正の解xを持つためには、yは

　　

でなければならない。

 

 

（解答終）

 

【微分を使う解答】

x>0のとき、

　　

ここで、

　　

とし、③をxで微分すると、

　　

したがって、f(x)の増減表は次のようになる。

 

x	0	・・・		・・・	∞
f'(x)		−	0	＋
f(x)	+∞	減少	極小	増加	+∞

 

よって、方程式②（①）が解x>0を持つためには、

　　

でなければならない（必要条件）。

また、

y=f(x)=x+1/x³(x>0)は0<x<∞で連続、かつ、

　　

だから、中間値の定理より、

　　

である任意のyに対して、

　　

を満たすx>0が存在する。（十分性の証明？）

方程式①と方程式②は同値だから、

　　

が、求める必要十分条件である。

（解答終）

 

「曲線のグラフは（説明にはなるが）証明にならない」と言ううるさい奴もいるけれど、うるさいことを言い出したからキリがない。果ては「ε-δ論法を使ってf(x)=x+1/x²（x>0）が連続であることを示さない限り、オレは解答として認められない」なんて話にもなりかねない。

高校レベルならば、a>0のとき、

　　

で連続性の証明になるのだろうけれど、ねこ騙し数学では、こんなのは証明として認めないケロ。

ということで、

お前ら、

　　

が、x∈R−{0}で連続であることを、ε-δ論法を使って、直接、証明するにゃ。

大学１年の微分積分（解析）の前期の試験でこれを出題したら、きっと、悲鳴が上がると思うにゃ(^^)

討ち死者が続出する。

 

阿鼻叫喚地獄が現出することは疑いの余地がない！！

x→0+0のときxlogx→0の証明例

問題　次のことを示せ。

【解】

（１）　とすると、

　　

よって、x>0のときf''(x)>0だから、f'(x)はx>0で単調増加。

したがって、

　　

よって、f(x)はx>0で単調増加。

　　

 

（２）　x>0のとき

　　

だから

　　

また、

　　

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

 

（３）

とおくと、

　　

また、だから、x→0+0のとき、t→∞。

よって、

　　

（解答終）

　ひれ伏せ愚民
　君との違いを
　わかるくらい
　見せてやるぜ！！

嫌だな〜、これはこの歌の歌詞だケロよ(^^)

 

【（１）の別解】

x>0のとき、0<t<xとすると、だから、

 　　

（別解終）

 

同様に積分を繰り返していけば、x>0のとき、

　　

したがって、

　　

任意の正の整数mに対して、n=m+1にとれば、

　　

また、

　　

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

となる。

 

この問題を解くにゃ！！（８月２日）の解答例

問題　aがいろいろな実数値を取るとき、xの方程式

　　

の実数解の数はどのようになるか。

【解】

は中心(2,0)、半径1の上半分の半円。

そこで、直線y=2–axとこの半円との共有点を調べる。

直線y=2–axが半円と接するとき、円の中心(2,0)と直線との距離は半径1に等しいので、点と直線の距離の公式より

　　

両辺を２乗すると、

　　

右の図より、

　a<3/4のとき、共有点（解）なし

　a=3/4のとき、共有点（解）１

　3/4<a≦1のとき、共有点（解）２

　1<aのとき、共有点（解）１

（解答終）

 

 

お前ら、この問題を解くにゃ！！（８月２日）

お前ら、この問題を解くにゃ！！

 

問題　aがいろいろな実数値を取るとき、xの方程式

　　

の実数解の数はどのようになるか。

 

根号内≧0から

　　

x=0のとき、①は0=2となるので、x=0は解として不適。

　　

として、

　　

よって、

　　

と

　　

との共有点を調べると・・・

 

このように解きたいのならば、

　　

と置けば、②式は

　　

となるので、・・・

 

とした方が解答は楽だけれど、この問題はもっと簡単に、微分なんて野暮なものを持ちださなくても簡単に解けるにゃ。

ヒント！！

１日、１回、この曲を聞かないと、ブログの記事に埋め込まないと、調子が悪くなるにゃ。

ちょっとお尋ねしますが、これは成り立ちますか？ （２月１８日ver.）

ちょっとお尋ねしますが、これ↓は成り立ちますか？

問題　a、bを実数、b>aとする。

関数f(x)が[a,b]で微分可能な関数であるとき――実数全域で微分可能でもよい――、

　　

は成り立つか。

成り立つならば証明を、成り立たないならば反例をあげよ。

部分分数への分解の問題の解答

部分分数への分解の問題の解答

問題　次の分数を部分分数に直せ。

　　

【解】

　　

と分解できたとする。

②にx+2をかけると

　　

x=−2を代入すると

　　

②にx−3をかけると

　　

x=3を代入すると

　　

②にx²をかけると

　　

だから、x=0を代入すると

　　

しかし、

②にxをかけると

　　

だから、x=0を代入してaを求めることは出来ない。

工夫が必要！！

　　

にx²をかけた③式

　　
の両辺をxで微分すると、

　　

これにx=0を代入すると

　　

これですべての係数が求まった。

答えは

　　

（解答終了）

この手法は複素関数の留数を求めるときに用いる手法なのだけれど、部分分数への分解にも利用できる便利な方法なので、知っておくと何かと便利ですよ。

部分分数への分解の便利な（？）方法

部分分数への分解の便利な方法

つかぬことをお伺いしますが、

　　

を部分分数に分解するとき、皆さんは、どのような方法を使ていますか？

「こんな初歩的なことを聞くとは、ネムネコ、相当数学の記事のネタに困っているようだ。そうでなければ、焼きが入ったか？。これはこうやって解くもんだ。

　　

分子を展開し、多項式の係数を比較すれば出てくる。」

「なるほどなるほど、正攻法ですね。しかし、ネムネコは計算が苦手だから、間違った答えにたどり着く確信があります。

そこで、たとえば、こう計算したらどうでしょう。

　　

こういう方法は駄目ですか？」

「たしかに、こう計算すれば、連立方程式を解かなくていい。しかし、技巧的で一般性のない解法だ。こんな解法は認められない！！」

「じゃぁ、こうしたら。

　　

ですから、両辺にx−1をかけると

　　

x=1を代入すると、

　　

同様に、①式にx−2をかけと

　　

これにx=2を代入すると、

　　

同様に、①式にx−3をかけると

　　

x=3を代入すると

　　

つまり、

　　

のとき、

　　

として計算できる。

ただし、

　　

これならば一般性のある解法で問題はないと思いますが、駄目ですか？」

「ネムネコ、お前、この解法を知っていて、質問したろ！！」

「濡れ衣です。私はこのような解き方を他人（ひと）から教えてもらったこともありませんし、数学の本で読んだ記憶もありません。少なくとも、私の持っている数学の本にこのような求め方は書かれておりません。」

さてさて、この架空の対話の真偽は別にして、この話を踏まえて質問するにゃ。

問題　次の分数を部分分数に直せ。