高校の微分に関する問題 sinxは多項式で表わせない

高校の微分に関する問題　sinxは多項式で表わせない

 

 

合成関数の微分の証明についてのコメントをいただいたので、高校時代に使っていた数学の参考書を覗いてみた。

そして、次のような問題を見つけた。

 

問題

（１）　sinxは整式（多項式の関数）で表わせないことを示せ。

（２）　f(x)は実数全体を定義域とする微分できる関数で、f(1)=0である。

このとき、

　　

とおけば、g(x)は連続関数であることを示せ。

 

（２）は、たとえば、次のように解けばいいのだろう。

 

h≠0のとき、f(x)は実数全体で微分可能だから、

　　

よって、f(x)は連続関数。

f(x)とx−1は連続関数で、かつ、x≠1のときx−1≠0だから

　　

は連続な関数。よって、g(x)はx≠1のすべての点xで連続。

また、

　　

だから、g(x)はx=1で連続。

したがって、g(x)は実数全体で連続関数である。

 

厄介なのは、（１）だケロね。

 

テーラー展開（マクローリン展開）を知っていれば、sinxは

　　

と無限級数に一意に表せるので、sin xを有限な次数をもつ多項式（整式）で表すことはできない、

ですむのだろうけれど、さすがに、これを大学入試の答案に書くわけにはいかない。

 

ではあるが、次のようにすれば、高校の数学の範囲になんとかおさめることができるだろう。

 

もし、

　　

と多項式で表せるのならば、

　　

である。

よって、f(x)は何回でも微分可能で、恒等的に

　　

にならなければならない。

ところで、sin xは

　　

と何回でも微分することができ、g(x)=sin xとおくと、k>nで

　　

となる正の整数kが存在する。

このkをとると、

　　

となり（※）、⑨に矛盾。

よって、sin xは整式（多項式）で表わせない。

ここで、

記号はf(x)のn次導関数を表す。

 

（※） 　k>nのとき、

　　

だから、

　　

である。

 

とか・・・。

ちなみに、

　　

とすると、

　　

である。

0！=1という、さらに、

　　

というお約束を忘れないように(^^)

 

 

または、

　　

とおく。

すると、方程式f(0)=0である実数解はたかだかn個。

しかし、sin x=0の解は無数に存在する。

だ・か・ら、もし、sin xが多項式①の形で表わせとすると、矛盾する。

よって、sin xは多項式で表わせない。

 

あるいは、

　　

だから、sin xが多項式で表せたとすると、x→∞のときにsin xは発散してしまう。

しかし、

　　

で、x→∞のときに、＋∞や−∞に発散しない。

　――sin xには、この極限値が存在しない。だから、この極限が存在しないことを証明に用いても良いだろう。――

よって、矛盾。

したがって、sin xは多項式で表わせない。

 

まぁ、こういったところでしょうか。

 

同様に、cos xが多項式で表わせないことを示すことができるだろう。

 

「オレは、こうやって解いた」という証明があったら、コメント欄にその証明を書いて、教えて欲しいケロ。

証明が正しかろうが、間違っていようが、このブログで紹介するにゃ。