お前らに問題（６月９日）の解答例 積分を使う

お前らに問題（６月９日）の解答例　積分を使う

 

 

問題　x>0のとき、次の関係が成り立つことを示せ。

　　

 

最も基本的な解答は、次のようなものだろう。

 

【解答例１】

　　

とおき、xで微分すると、

　　

したがって、f(x)は、0<x<1のとき減少、1<xのとき増加する。

よって、f(x)はx=1のとき、極小かつ最小。

ゆえに、

　　

（解答終）

 

 

また、次の解答例のように、平均値の定理を用いた解答も作ることができるだろう。

 

 

【解答例２】

x=1のとき、（１）の等号が成立する。

0<x<1とし、(x,1)に対して平均値の定理を用いると、

　　

であるξが存在する。

このとき、1<1/ξ<1/xだから

　　

1<xのとき、同様に、(1,x)に対して平均値の定理を用いると

　　

このとき、1/x<1/ξ<1だから、

　　

以上のことから、

　　

等号成立はx=1のとき。

（解答終）

 

さらに、積分を使うのならば、次のような解答を作ることもできるだろう。

 

 

【解答例３】

x=1のとき、（１）で等号が成立するのは明らか。

0<x<1とし、t∈(x,1)とすると、

　　

よって、

　　

1<xとし、t∈(1,x)とすると、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

等号成立はx=1のとき。

（解答終）

 

 

このように、積分を用いて、問題の不等式を示すことができる。

 

解答１が最もシンプル、かつ、わかりやすいので、解答２、解答３のようにわざわざ難しくして証明する必要はない。しかし、積分を用いると、次のような不等式を簡単に作り出せたりもする。

 

 

x>0とし、t∈(0,x）とする。

このとき、

　　

だから、

　　

x<0とし、t∈(x,0)とすると、

　　

だから、

　　

x=0のとき、等号が成立するので、

　　

という不等式を得ることができる。

 

特に注目して欲しいのは

　　

という不等式。

x>0のとき、この両辺を積分すれば、

　　

そして、これをさらに積分すると、次の不等式が得られ、

　　

これを繰り返すことによって、

　　

という不等式を自然に得ることができるのであった。

 

 

そして、宿題！！

 

 

宿題　aを実数の定数とする。次の方程式の解の個数を調べよ。

　　

 

 

右の図は挿絵。

紙面がすこし寂しく見えたので、挿絵を入れただけだケロ。

 

 

受験数学でよく用いられる、

「x=−1は解でないから、上の方程式と下の方程式は同値。

　　

したがって、この方程式の解の個数は、曲線との共有点（ここで、交点という言葉を使うと、文句をつけるヒトがいる！！）の数と一致する。

うんぬん、云々・・・」

というテクニックを用いると、思わぬところで足元を掬われるかもしれない(^^)

 

あなたは次の超越方程式を解けるだろうか。

　　

この解に気付けば別だけれど(^^)

 

 

 

そして、上の図も挿絵であることは言うまでもない！！