第２０回 陰関数の微分２ [偏微分]
第２０回 陰関数の微分２
前回、f(x,y)=0によって定められるy=φ(x)の微分が
になるということをやりましたにゃ。
これをさらにxで微分するとどうなるか、これをやってみるにゃ。
とすると、
だから、
それで、
になるので、
u、v、u'、v'を①に代入して、真面目に計算すると、
となるにゃ。
こんな式を覚える必要はないにゃ。
ただ、これを使うと、f(x,y)=0によって定められる陰関数y=φ(x)の極値の判定が便利になるにゃ。
というのは、極値になる点ではy'=0となるので、
よって、極値のところで、⑨は
になる。
だから、②式を使って陰関数y=φ(x)の極値の判定ができるというわけだにゃ。
ということで、これを定理とするにゃ。
定理
関数f(x,y)を
tとする。このとき、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)がx=aで極値b=φ(a)をとるならば、
さらに、
である。
これを使って前回の問題を解いてみるにゃ。
問題１
で定められる陰関数の極値を求めよ。
【解】
極値のところではf_x(x,y)=0にならなければならないので、
これと、
より、
になる。
で、極値なる点では
だから、
となり、x=1/√3のところでは極小。
x=−1/√3のところでは極大。
よって、 
となる。
前回の解答より計算量が減っていて、楽になっているんじゃないケロか。
これはf(x,y)の極値の問題ではないので、
から停留点を求めてはいけないにゃ。
今、やっているのは、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)の極値を求める問題なので、混同をしないで欲しいにゃ。
問題２
から定まるy=φ(x)の極値を求めよ。
【解】
―――３次方程式には解の公式があるので、出来ないことはないが・・・―――
として、
から停留点を、まず、求めるにゃ。
また、
なので、x=0を代入して、上の方程式を解くと、
になり、停留点は(x,y)=(0,0),(0,1),(0,−1)になるケロ。
で、
よって、
となり、
x=0、y=0のとき、極小値で、x=0、y=1とx=0、y=−1のとき極大値となる。
「ちょっと待った、⑨ネコ。この陰関数はx=0のところで、３つも値があるじゃないか。しかも、x=0のところで極大値と極小値を持ち、極大値の一つは−1で極小値の０より小さいじゃないか！！ おかしいんじゃないか！！」
「だ・か・ら、前回、『これは厳密なことを言ったら関数じゃない』って言ったにゃ。陰関数というのは、結構、胡散臭いところがあるんだケロ。」
第１９回 陰関数と陰関数定理 [偏微分]
第１９回 陰関数と陰関数定理
例えば、
という関数があるとするケロ。
で、f(x,y)=0のとき、
というふうにy=φ(x)と表すことができるにゃ。
また、
ならば、
と、やはり、y=φ(x)というふうに、ｙをｘの関数として表すことができる。
―――厳密なことを言うと、①は関数ではないけれど・・・―――こういう関数φ(x)を、f(x,y)=0で定まる陰関数と呼ぶケロ。
定義
f(x,y)=0に対して、関数y=φ(x)がf(x,φ(x))=0を満たす時、y=φ(x)をf(x,y)=0で定まる陰関数と呼ぶ。
で、f(x,y)が
級で、y=φ(x)が微分可能ならば、合成関数の微分の公式から、f(x,φ(x))=0をxで微分すると
となり、
のとき、
となる。
ただし、陰関数の微分dy/dxを求めるとき、必ずしも⑨四季を使う必要はないにゃ。
例えば、
の時は、yをxの関数と考えて、１変数の微分をすればいい。
と計算すればよい。
ちなみに、
ね。
⑨式を使うならば、
となるにゃ。
で、①は関数じゃないと言ったにゃ。①の定義域は−1≦x≦1だケロ。x=±1の時以外、yは二つの値を持つケロ。例えば、x=1/2のとき、y=±√3/2だにゃ。関数というのは、xの値に対して１つの値しか持ってはいけないのに、２つの値を持っているので、
は関数じゃないんだケロ。
―――ねこ騙し数学では、複数の値を持つ多価関数を関数と認めていない――― 
で、証明はしないけれど、陰関数定理を紹介するにゃ。
陰関数定理関数f(x,y)が点(a,b)の近傍で
ならば、aを含む開区間I上の
を満たすものがただ一つ存在する。
紹介しただけにゃ。この定理の証明は、結構、面倒なんだにゃ。だから、この条件を満たす時、陰関数が存在するということだけを知っておいて欲しいんだにゃ。
この陰関数定理は、後で使うんで・・・。
問題 次の関数の定める陰関数y=y(x)の極値を求めよ。
【解】
yをxの関数と考えて、ｘで微分する。
x+2y≠0のとき、
極値をとるところではy'=0なので
y=−2xを
に代入すると、
で、極値の判定をするためにy''を求めたいにゃ。②式をxで微分すると、
になるにゃ。
に対するy''の値は
となり、
もちろん、
をyについて解いて、すなわち、
として、xで微分して、極値を求めてもいいにゃ。
計算力のある人は、これを微分して同じ答になることを確かめて欲しいケロ。
第１８回 極値の判定法 [偏微分]
第１８回 極値の判定法
級の２変数関数の判定法をやりますにゃ。
テーラーの定理より、(a,b)の近傍では
となるにゃ。
極値では
でなければならないので、
になる。
で、
とする。
そして、A≠0ならば
となる。
このことから、
h、ｋの値にかかわらず
になる。
hとｋが十分に小さければ、 
だろうから、
になるであろうというワケ。
A=0のとき、これとは別な判定法を用いないといけない。
のとき、
とすると、
となり、F(1,0)とF(B,−A)は異符号となるから、hとｋによってF(h,k)は正負の値をとることになる。このことから、の時、極値にならない。
ということで、
としたとき、
（１）A>0、D>0ならば、極小 （２）A<0、D<0ならば、極大
（３）D>0ならば、極値でない
ということになる。
問題１ 次の関数の極値を求めよ。
【解】
（１）
だから、x=y=0が停留点になる。
で、これが極値であるかどうかの判定をするために２階偏微分を求めると、
となる。
となり、
となり、f(0,0)=0は極小値。
（２）
なので、x=y=0が停留点。
よって、
となり、点(0,0)でf(x,y)は極値でない。
よって、極値は存在しない。
問題２ 次の関数の極値を求めよ。
【解】
となる。
停留点は
の連立方程式を解けば出てくるにゃ。
このことから、(x,y) (0,0)、(1,1)が停留点になることがわかるケロ。
で、２階偏微分を求めると、
となるので、
となる。
(0,0)のときは、
となり、極値でないことがわかるにゃ。
(1,1)のときは 
ということで、
が極小値になるケロ。
第１７回 ２変数関数の極値 [偏微分]
第１７回 ２変数関数の極値
１変数関数の時に極値（極大値、極小値）の話をしました。
f(x)がx=aで極大であるとは、aの近傍でf(x)<f(a)となることで、x=aで極小であるとは、x=aの近傍でf(x)>f(a)であること。
つまり、 
となる正の数δが存在するとき、x=aで極大であるといい、、f(a)を極大値という。
で、
となる正の数δが存在するとき、x=aで極小であるといい、f(a)を極小値という。
これを２次元に拡大すると、２変数関数の極値（極大値、極小値）の定義は次のようなります。
となる正の数δが存在する時、f(x,y)は(a,b)で極大であるといい、f(a,b)を極大値という。
となる正の数δが存在する時、f(x,y)は(a,b)で極小であるといい、f(a,b)を極小値という。
ちなみに、 
１変数関数f(x)のとき、f(x)が微分可能であれば、x=aで極値になる時、
になる。
であるならば、２変数関数f(x,y)のとき、f(x,y)が偏微分可能であれば、(x,y)=(a,b)で極値になる時、 
と考えるのは人情というもの。
そして、この予測は正しい。
定理
関数f(x,y)は点(a,b)で極値をとり、かつ偏微分可能であるとする。この時、
である。
【証明】
y=bで固定し、φ(x)=f(x,b)とする。このとき、x=aのときφ(x)は極値をとるので、φ'(a)=０である。すなわち、
x=aで固定し、ψ(y)=f(a,y)とすれば、
よって、
ところで、「f'(a)=0だから、x=aで極値になるとは限らない」という話を１変数の時にした。その代表的な例が
だ。
になるので、x=0のとき、f'(0)=0になる。
でも、は単調増加なので、x=0のとき、極大でも極小でもない。
これと同じように、
だからと言って、f(a,b)が極値になるとは限らない。
これはf(x,y)が点(a,b)で極値をとるための必要な条件だけれども、十分な条件ではないんだ。
例として、
という関数がある。
だから、点(0,0)で
になる。
３次元なのでちょっとわかりにくいと思うんだけれど、こんな感じの図形になって、(0,0)のとき、極値にならない。
なのだけれど、
例２
のときは、(0,0)で極小になるゃ。
このことは、
だから、わかると思う。
ちなみに、この関数のグラフは次のようになる。
と
の前の符号が「＋」か「−」で、極値の有る無しが別れてしまう。２変数関数の極値は、結構、厄介。
１変数関数の時、
という話をした。
これと同じように、２変数の場合も、２階の偏微分を使って極値の有る無し、極大・極小の判定ができる。
このことを次回にやる。
ちなみに、
となる点(a,b)のことを停留点と言うにゃ。
停留点だけれど、極値にならない点を鞍点という。
のグラフは何気なく鞍みたいだにゃ(^^)
第１６回 テーラーの定理 [偏微分]
第１６回 ２変数関数のテーラーの定理
１変数関数の時、f(x)が級ならば、y=f(x)が点aの近傍で
となることをやりましたにゃ。
より一般の
級ならば
となりますにゃ。
ちなみに、n=1のときが、「平均値の定理」と呼ばれるもので、テーラーの定理は「平均値の定理」の自然な拡張になっているというこ話もしたにゃ。
で、今回の話は、２変数関数のテーラーの定理ですにゃ。
２変数関数のテーラーの定理
f(x,y)が級の時、点(a,b)の近傍で
これだと見づらいので、h=x–a、k=y–bとすると、
となる。
どれも同じことを表しているのだけれど、
級の時、上に書いた二つの表記法だと大変なので、
今回、一般の場合はやらないので、
この証明は、１変数のテーラーの定理を使って次のようにやるにゃ。
級の関数となる。テーラーの定理より
となる。
x=a+ht,y=b+ktとすると、合成関数の微分より
真面目にF''(t)を計算してもいいのだけれど、G(t)=F'(t)と考えれば、
で、この結果を⑨に代入すると、
となっている。
まっ、これで終わってもいいのだけれど、問題をひとつやってみるにゃ。
問題 次の関数の点(1,1)近傍のテーラー展開（２次）を求めよ。
解
になるので、
なんで、２変数関数のテーラーの定理なんてものをやりだしたかというと、２変数関数の極値、極大値か、極小値かという判定に２変数関数のテーラーの定理が必要なんだケロ。
１変数関数の時は、結構、テーラーの定理を使うんだけれど、２変数関数では、テーラーの定理はあまり使わない(^^ゞ。
第１５回 合成関数の偏微分の公式２（内容を付け足した） [偏微分]
第１５回 合成関数の偏微分の公式２
定理A
関数f(x,y)が領域Dで全微分可能であり、関数φ(t)、ψ(t)が区間Iで微分可能かつφ(t),ψ(t)∈Iであれば、合成関数F(t)=f(φ(t),ψ(t))は区間Iで微分可能で
が成り立つ。
z=f(x,y)、x=φ(t)、y=ψ(t)とすると、
プリミティブな考え方をするならば、z=f(x,y)は全微分可能なのだから、
となり、これをｄｔで割ると
になる。
物理なんかだとこれでいいんだろうけれど、駄目かこれで(^^ゞ
このキチンとした証明はそのうちにすることして、先に進もう！！
定理B
z=f(x,y)が全微分可能なとき、x=x(u,v)およびy=y(u,v)がu,vの微分可能な関数な関数ならば、合成関数f(x(u,v),y(u,v))はu,vの微分可能な関数であって、
になる。
証明というほどのものではないけれど、uで偏微分するときはｖは定数と考えて良いので、定理Aより
になるだろう。だけれども、これは偏微分なので
になるというわけ―――dを、さり気なく、∂にすり替える(^^ゞ―――。
同様に、
まっ、そういうこと(^^ゞ
では、問題を。
問題１ 次の関数の
を求めよ。
解
問題２ z=f(x,y)、x=rcosθ、y=rsinθのとき、次のことが成り立つことを証明せよ。
解
（１）
（２）は、計算が面倒なのでパス！！
問題３ z=f(x,y)、y=y(x)のとき、
を求めよ。
解
この結果はちょっと不思議だろ(^^)
でも、微分と偏微分の違いがハッキリと現れてくる公式（？）だと思う。
これは、流体力学に出てくる微分なんだケロ。流体力学では
という形で出てきて、流体の運動方程式の加速度を表すんだ。一次元の流体の運動方程式を書くと
になるにゃ。
ρは流体の密度、μは粘度、uは流速、ｐは圧力を表す。
（１次元の）ナビエ・ストークス方程式と呼ばれるもの。
ねこ騙し数学で今回やった公式を使うことはないから、こんな公式があるんだということを頭の片隅にとどめておいてもらえば十分だケロ。
「今回は、手を抜き過ぎではないか」という批判を交わす目的で、内容を付け足したにゃ。
補足
とするケロ。
この関数のtの微分は、定理Aの公式を使うと、
になる。
でも、こんな公式を使わなくても、
になるので、
と簡単に計算することができる。
第１４回 偏微分の演習２（ラプラシアン） [偏微分]
第１４回 偏微分の演習２（ラプラシアン）
２階偏微分可能な関数f(x,y)に対して
を対応させる写像
をラプラシアンという。
Δf=0をラプラスの微分方程式、その解を調和関数という。
問題 次の関数が調和関数であることを示せ。
【解】
（１）
となり、調和関数である。
（２）
これは、まず、
になる。
で、
と置けば、合成関数の偏微分の公式が使える。
だから、
となる。
書くの面倒だし、計算するのも面倒なので、結果だけを記すならば、
となり、
こうした計算には技があって
だから、これをｘで偏微分して
ｘをｙにすり替えれば、
これを使うと、
ｘとｙをすり替えれば、
と計算することができるにゃ。
そして、ｆの２階偏微分は
第１３回 偏微分の演習１ [偏微分]
第１３回 偏微分の演習１
これまでは理論的な話ばっかりだったので、ここらで、ここまでの知識を使った偏微分の演習をやりますにゃ。
まず、おさらいとして留意するべきことを一点だけ。
偏微分するときは、xについて偏微分するときにはyを定数に、yについて偏微分するときはxを定数として、一変数の微分をする。
なぜならば、z=f(x,y)とすると、
で定義されているから。
xについて偏微分するときはyは一つの値に固定されていて動かない。
yについて偏微分するときはxは一つの値に固定されていて動かない。
だから、xについて偏微分するときにはyは定数、yについて偏微分するときにはxを定数として考えてよい。
ひょっとしたらすこし混乱させるかもしれないけれど、y=g(x)という一変数関数があって、これが微分可能であるとする。そして、z=xyとする。このとき、ｚの微分は
になる。これはyがｘの変化とともにその値が変化するから。
対して、z=f(x,y)= xyという関数の偏導関数は
になる。
このことは、偏導関数の定義にしたがって実際に計算をしてみればよくわかる。
何か困ったことに遭遇したら、定義に戻って考える！！
問題 次の関数の偏導関数を求めよ。
【解】
（１）は暗算でできるだろ。
(2)は
として、前回やった偏微分の合成公式を使う。その前に、
というtanの逆関数の微分公式を思い出して欲しいにゃ。
そして、前回、言ったように、前回のタイプの合成関数の偏微分は
と分数風に覚えていれば簡単。
そして、
このことから、
となる。
もちろん、こんな公式なんか知らなくても、xで偏微分するときはyは定数、yで偏微分するときはxが定数と考えて一変数のように微分して、
と計算してもいいにゃ。
微分の最も基本的な公式
は忘れていないよな。
最低限、この公式を覚えていないと、微分の計算は出来ないからな。これだけは絶対にどんなことがあっても忘れてはいけない。
ちなみに、
宿題 次の偏導関数を求めよ。
z= sin(xy)
【ヒント】
u=xyと置き 
ほとんどの人は暗算でできると思うけれど、念の為にヒントを書いた。
発展問題
のとき、
が成り立つことを示せ。
ただし、cは定数、fとgは級。
【解】
u=x+ctとおくと、
下の奴は
と考えれば分かるでしょ。
で、v=x–ctとすれば、
となるので、
になる。
よって、xでの２階偏微分は
で、v=x–ct
とおくと
だから、
このことから、もう一回tで偏微分するとき
になるのは分かるケロ？
⑨のところがわからなければ、
とおくと、
となるのがわかるでしょ。
以上のことから、
で、この問題の
は何かというと、波動方程式と呼ばれるもので、波を表す微分方程式なんだケロ。そして、定数ｃは、波の速さを表すんだにゃ。
光の波ならばcは秒速３０万キロ、空気中の音ならば音速になるケロ。
第１２回 偏微分の合成公式１ [偏微分]
第１２回 （偏）微分の合成公式１
微分の計算法なので、あまり細かいことをやってもしょうがない、と割り切るにゃ。
定理
関数f(t)が区間Iで微分可能、関数g(x,y)が領域Dで偏微分可能かつ
ならば、合成関数F(x,y)=f(g(x,y))はDで偏微分可能で
である。
【証明（？）】
変数yを固定すると、g(x,y)はxのだけの一変数関数φ(x)と考えることができるだろう。
―――xについての偏微分なのでyの値は変わらない―――
そうすると、
でも、本当は
だから、
だ(^^ゞ
こんな公式が必要なのかと言われると、正直、疑問なんだけれど、本に書いてあったんで、書いたにゃ。
例１ 次の偏導関数を求めるケロ。
こういうのがタイプ１だケロ。
公式をそのまま覚えるという阿呆な真似をしてはいけないにゃ。
として、
と考えれば十分だにゃ。
これに極限の記号をつけて
で十分だにゃ。
で、
では、すこしだけ本格的な問題を。
問題１ f(u)をRで級とする。このとき
について
が成り立つことを示すケロ。
【解】
とする。
よって、
もうひとつの方は、
これから、
になるケロ。
ということで、
は、偏微分方程式、
の解になっているんだにゃ。
第１１回 高階偏導関数 [偏微分]
第１１回 高階偏導関数
１階の偏導関数
や
を、さらにxやyで偏微分した奴が２階偏導関数、さらにこれをxやyで偏微分した奴が３階偏導関数だにゃ。
やをそれぞれxとyで偏微分したやつだから、２階の偏導関数は2×2=4通りあることになる。同様に３階の偏導関数は
、そして、n階の偏導関数は
個あることになるにゃ。
ただ、記号に注意して欲しいんだケロ。
となるので注意して欲しいケロ。
そして、一般に
は成立しないんだにゃ。
ちょっと面倒くさいので、z=f(x,y)とすると、
２階の偏微分には、あと
というのもあるケロ。
偏微分に関しては、理論的な部分よりも計算だケロ。この計算ができないことには話にならないので。
問題 次の２階偏導関数を求めるケロ。
【解】
xで偏微分するときは、yは定数と考える。
なので、
これをさらにxで偏微分するのだから（この時もyを定数と考える）、
yで偏微分するときは、反対にxを定数と考えるので、
そして、これをもう一度yで偏微分すると、
そして、①をyで偏微分すると（このときはxを定数と考える！！）
対して、②をｘで偏微分すると、
となる。
よって、この場合は、
だケロ。
で、結果をまとめると、
になるケロ。
そして、さり気なく定理をひとつ。
定理
関数f(x,y)が級ならば、
が成り立つ。
【証明】
という関数を考える。
一変数の平均値の定理をｘ成分について使えば、
さらに平均値の定理をy成分に使えば、
今度は、y成分、x成分の順に平均値の定理を使えば、
よって、
級だから、
、
も連続なので、(h,k)→(0,0)とすれば、
となる。
