第２０回 陰関数の微分２

第２０回　陰関数の微分２

前回、f(x,y)=0によって定められるy=φ(x)の微分が

　　

になるということをやりましたにゃ。

これをさらにxで微分するとどうなるか、これをやってみるにゃ。

　　

とすると、

　　

だから、

　　

それで、

　　

になるので、

u、v、u'、v'を①に代入して、真面目に計算すると、

　　
となるにゃ。

こんな式を覚える必要はないにゃ。

ただ、これを使うと、f(x,y)=0によって定められる陰関数y=φ(x)の極値の判定が便利になるにゃ。
というのは、極値になる点ではy'=0となるので、

　　
よって、極値のところで、⑨は

　　

になる。

だから、②式を使って陰関数y=φ(x)の極値の判定ができるというわけだにゃ。

 

ということで、これを定理とするにゃ。

定理
関数f(x,y)をtとする。このとき、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)がx=aで極値b=φ(a)をとるならば、

　　

さらに、

　　
である。

これを使って前回の問題を解いてみるにゃ。

問題１

で定められる陰関数の極値を求めよ。

【解】
極値のところではf_x(x,y)=0にならなければならないので、

　　

これと、

　　

より、

　　
になる。

で、極値なる点では

　　

だから、

　　

となり、x=1/√3のところでは極小。

　　

x=−1/√3のところでは極大。

よって、

　　
となる。

前回の解答より計算量が減っていて、楽になっているんじゃないケロか。

これはf(x,y)の極値の問題ではないので、

から停留点を求めてはいけないにゃ。
今、やっているのは、f(x,y)=0で定まるy=φ(x)の極値を求める問題なので、混同をしないで欲しいにゃ。


問題２
　　

から定まるy=φ(x)の極値を求めよ。

【解】

これはさすがにy=ホニャララの形に表すことは難しいにゃ。
―――３次方程式には解の公式があるので、出来ないことはないが・・・―――
　　

として、

　　

から停留点を、まず、求めるにゃ。

　　

また、

　　

なので、x=0を代入して、上の方程式を解くと、

　　

になり、停留点は(x,y)=(0,0),(0,1),(0,−1)になるケロ。
で、

　　

よって、

　　

となり、

x=0、y=0のとき、極小値で、x=0、y=1とx=0、y=−1のとき極大値となる。

 

「ちょっと待った、⑨ネコ。この陰関数はx=0のところで、３つも値があるじゃないか。しかも、x=0のところで極大値と極小値を持ち、極大値の一つは−1で極小値の０より小さいじゃないか！！　おかしいんじゃないか！！」

「だ・か・ら、前回、『これは厳密なことを言ったら関数じゃない』って言ったにゃ。陰関数というのは、結構、胡散臭いところがあるんだケロ。」