第１９回 陰関数と陰関数定理

第１９回　陰関数と陰関数定理

例えば、

　　

という関数があるとするケロ。

で、f(x,y)=0のとき、

　　

というふうにy=φ(x)と表すことができるにゃ。

また、

　　

ならば、

　　

と、やはり、y=φ(x)というふうに、ｙをｘの関数として表すことができる。

　―――厳密なことを言うと、①は関数ではないけれど・・・―――

こういう関数φ(x)を、f(x,y)=0で定まる陰関数と呼ぶケロ。

定義
f(x,y)=0に対して、関数y=φ(x)がf(x,φ(x))=0を満たす時、y=φ(x)をf(x,y)=0で定まる陰関数と呼ぶ。

で、f(x,y)が級で、y=φ(x)が微分可能ならば、合成関数の微分の公式から、f(x,φ(x))=0をxで微分すると

　　

となり、

　　

のとき、

　　

となる。

ただし、陰関数の微分dy/dxを求めるとき、必ずしも⑨四季を使う必要はないにゃ。
例えば、

　　

の時は、yをxの関数と考えて、１変数の微分をすればいい。

　　

と計算すればよい。

ちなみに、
　　

ね。

⑨式を使うならば、

　　

となるにゃ。

で、①は関数じゃないと言ったにゃ。①の定義域は−1≦x≦1だケロ。x=±1の時以外、yは二つの値を持つケロ。例えば、x=1/2のとき、y=±√3/2だにゃ。関数というのは、xの値に対して１つの値しか持ってはいけないのに、２つの値を持っているので、

　　

は関数じゃないんだケロ。

　―――ねこ騙し数学では、複数の値を持つ多価関数を関数と認めていない―――

　　

や

　　

は関数なんだけれどね。

で、証明はしないけれど、陰関数定理を紹介するにゃ。

陰関数定理

関数f(x,y)が点(a,b)の近傍で級であり、
　　

ならば、aを含む開区間I上の級関数φ(x)で
　　
を満たすものがただ一つ存在する。

紹介しただけにゃ。この定理の証明は、結構、面倒なんだにゃ。だから、この条件を満たす時、陰関数が存在するということだけを知っておいて欲しいんだにゃ。

この陰関数定理は、後で使うんで・・・。


問題　次の関数の定める陰関数y=y(x)の極値を求めよ。
　　
【解】
yをxの関数と考えて、ｘで微分する。

　　

x+2y≠0のとき、

　　

極値をとるところではy'=0なので

　　
y=−2xをに代入すると、
　　
で、極値の判定をするためにy''を求めたいにゃ。②式をxで微分すると、

　　

極値のところではy'=0なので、

　　
になるにゃ。

ということで、に対するy''の値は
  

となり、

　　

もちろん、

　　
をyについて解いて、すなわち、
　　
として、xで微分して、極値を求めてもいいにゃ。
計算力のある人は、これを微分して同じ答になることを確かめて欲しいケロ。