第２１回 ラグランジェの未定乗数法

第２１回　ラグランジェの未定乗数法

たとえば、x+y=1のとき、

　　

の最小値を求めよという問題があるとするにゃ。

これやy=1–xとｙを消去すれば、
　　

となるので、x=(y=)1/2のときに最小で、最小値は1/2となることがわかるにゃ。

微分を使って、
　　

などから、最小値を求めてもいいにゃ。

だけど、
のとき、の最小値を求めよ

というような問題だと、ｘやｙを消去してというわけにはちょっといかない。

しかし、ラグランジェの未定乗数法という方法を使うと、こうした制限付きの極値問題や、最大値・最小値の問題を解ける場合がある。

だから、ねこ騙し数学においても、ラグランジュの未定乗数法をやろうじゃないか、という訳だにゃ。

仮にφ(x,y)=0という制限がついていたとするにゃ。φ(x,y)が級で、ならば、陰関数定理より、φ(x,y)=0で定まる陰関数y=ψ(x)が存在するにゃ。

だとすれば、
　　

となり、これをxで微分すれば

　　

で、陰関数定理から

　　

となるから、

　　

となるにゃ。

で、g(x)がx=aで極値をとるとするとg'(a)=0なので、b=ψ(a)とすると、

で、

　　

とすると、

　　

さらに、ならば、

　　

となり、

　　

も成立するにゃ。

　　

が成立するのは、(A)より

　　

となり、なので、

　　

で、

　　

でもある。

未知数はa、ｂ、λの３つ、方程式は①、②、③の３本だから解けるはずだ、というわけだケロ。

本当に、このラグランジュの未定乗数法で解けるか、最初の例でやってみるにゃ。

　　

とするにゃ。

で、

　　
として、これをxとyでそれぞれ偏微分すると、

　　

となるにゃ。

この上の式を下の式で引けば、x=yになるので、x+y–1=0と合わせれば、x=y=1/2となり、このことから、f(x,y)の極値（？）が

　　
という訳だにゃ。

問題１　のとき、x+yの最大値と最小値を求めよ。
【解】

　　
として、ラグランジュの未定乗数法を用いる。
　　

よって、

　　

これを

　　

に代入すれば、λは出てくるけれど、欲しいのはλじゃなくて(x,y)だから、x=yを使えば

　　

となり、このことから

　　

となり、x+yの最大値が√2、最小値が−√2であることがわかるにゃ。

問題２　　のとき、の最大値、最小値を求めよ。
【解】

　　

とするにゃ。

　　

このことから、

　　

そして、

　　

④、⑤、⑥の連立方程式を解けばいいんだけれど、これは問題１の時と違ってちょっと厄介なんだケロ。

④から
　　
これを⑤に代入すると、
　　

この両辺に−2をかけて整理すると、

　　

になる。

で、
　　

ならば、これで両辺を割ることが出来て、x=0となり、そして、y=0となるにや。

でも、これは⑥式を満たさないから、
　　

でなければならない。
で、このλに関する②次方程式を解けば

　　

となるにゃ。

で、λ=−1を④に代入すると、
　　

これを⑥式に代入すると、

　　

λ=−5を④式に代入すると

　　

これを⑥式に代入すれば、

　　

となる。
この４つを

　　

に代入すれば最大と最小値は出てくるにゃ。

最大値は２０、最小値は４になるはずだにゃ。

　　
の時が最大で２０、

　　

の時が最小で４になるはずだにゃ。

線形代数なんかを知っている人は、④と⑥の連立方程式を解く時、これが(x,y)=(0,0)の時

　　
でなければならない、とするとオシャレにゃ。