第２２回 違う方法で解く

第２２回　違う方法で解く

問題１　のとき、x+yの最大、最小値を求めよ。

【別解１】

x+y=kとおき、y=k–xをに代入する。

xは実数なので、上のxの２次方程式は実根を持たなければならないにゃ。

で、判別式を使うと、

でなければならない。

よって、最大値は√2、最小値は−√2。

【別解２】

なので、x=cosθ、y=sinθとするにゃ。

よって、最大値は√2で、最小値は−√2

この他にも解答は幾つか考えられるけれど、このあたりが代表的なものなんだろう。
ちょっと毛色の違う解答を示すならば、コーシー・シュワルツの不等式

をつかって、

とすることもできるにゃ。

問題２　のとき、の最大値と最小値を求めよ。
【別解１（？）】

だケロ。

ここで、相乗平均≦相乗平均

を使うにゃ。

とすると、

だから、

となるにゃ。

で、

なので、

となる。

等号が成立するときは

なので、

それで、

このことから、

となり、・・・。
相乗平均≦相加平均を使うときは、これを満たすｘとｙなどの値が存在することを示さないといけないにゃ。問題によっては、そんなｘとｙが存在しないことがあるので。

【別解２（？）】

として、

と正弦関数の２倍角の公式を使ってもいいにゃ。

そうすれば、

というのがすぐに出てくるケロ。

だから、・・・。

前回やった程度の問題ならば、ラグランジュの未定乗数法や微分積分すら使う必要がないんだにゃ。

「ラグランジュの未定乗数法をどのように使うか」の練習問題だったワケなんだにゃ。

という制限がついている時、x=acosθ、y=asinθとすると、１変数関数の最大、最小問題に直せるので、こうした方が一般的に計算や議論が楽だにゃ。

ならば、x=acosθ、y=bsinθとするにゃ。
のときは、

と考え、

とすればいいにゃ。