第１３回 偏微分の演習１

第１３回　偏微分の演習１

これまでは理論的な話ばっかりだったので、ここらで、ここまでの知識を使った偏微分の演習をやりますにゃ。

まず、おさらいとして留意するべきことを一点だけ。
偏微分するときは、xについて偏微分するときにはyを定数に、yについて偏微分するときはxを定数として、一変数の微分をする。

なぜならば、z=f(x,y)とすると、

　　

で定義されているから。
xについて偏微分するときはyは一つの値に固定されていて動かない。
yについて偏微分するときはxは一つの値に固定されていて動かない。

だから、xについて偏微分するときにはyは定数、yについて偏微分するときにはxを定数として考えてよい。

ひょっとしたらすこし混乱させるかもしれないけれど、y=g(x)という一変数関数があって、これが微分可能であるとする。そして、z=xyとする。このとき、ｚの微分は

　　

になる。これはyがｘの変化とともにその値が変化するから。

対して、z=f(x,y)= xyという関数の偏導関数は

　　

になる。

このことは、偏導関数の定義にしたがって実際に計算をしてみればよくわかる。
　　

h→0の極限をとるまでもなく、このことから、

　　

となることがわかるだろう。

何か困ったことに遭遇したら、定義に戻って考える！！

問題　次の関数の偏導関数を求めよ。

【解】
（１）は暗算でできるだろ。

　　

(2)は

　　

として、前回やった偏微分の合成公式を使う。その前に、
　　
というtanの逆関数の微分公式を思い出して欲しいにゃ。
そして、前回、言ったように、前回のタイプの合成関数の偏微分は

　　

と分数風に覚えていれば簡単。

　　

そして、

　　

このことから、

　　

となる。
もちろん、こんな公式なんか知らなくても、xで偏微分するときはyは定数、yで偏微分するときはxが定数と考えて一変数のように微分して、

　　

と計算してもいいにゃ。

微分の最も基本的な公式

　　

は忘れていないよな。

最低限、この公式を覚えていないと、微分の計算は出来ないからな。これだけは絶対にどんなことがあっても忘れてはいけない。
ちなみに、
　　

宿題　次の偏導関数を求めよ。
　　z= sin(xy)

【ヒント】

u=xyと置き

　　

を使う。

ほとんどの人は暗算でできると思うけれど、念の為にヒントを書いた。


発展問題

　　

のとき、

　　

が成り立つことを示せ。
ただし、cは定数、fとgは級。

【解】
u=x+ctとおくと、

　　

下の奴はと考えれば分かるでしょ。
で、v=x–ctとすれば、

　　

となるので、

　　

になる。
よって、xでの２階偏微分は

　　

で、v=x–ct
とおくと

　　

だから、

　　

このことから、もう一回tで偏微分するとき

　　

になるのは分かるケロ？

⑨のところがわからなければ、
　　
とおくと、

　　

となるのがわかるでしょ。

以上のことから、
　　

で、この問題の

　　

は何かというと、波動方程式と呼ばれるもので、波を表す微分方程式なんだケロ。そして、定数ｃは、波の速さを表すんだにゃ。
光の波ならばcは秒速３０万キロ、空気中の音ならば音速になるケロ。