第１４回 偏微分の演習２（ラプラシアン）

第１４回　偏微分の演習２（ラプラシアン）

２階偏微分可能な関数f(x,y)に対して

　　
を対応させる写像
　　
をラプラシアンという。
Δf=0をラプラスの微分方程式、その解を調和関数という。

問題　次の関数が調和関数であることを示せ。


【解】
（１）
　　
となり、調和関数である。

（２）
これは、まず、
　　
になる。
　　

で、
　　

と置けば、合成関数の偏微分の公式が使える。
　　

だから、

　　
となる。
書くの面倒だし、計算するのも面倒なので、結果だけを記すならば、
　　
となり、
　　

こうした計算には技があって
　　
だから、これをｘで偏微分して
　　

ｘをｙにすり替えれば、
　　
これを使うと、
　　
ｘとｙをすり替えれば、
　　
と計算することができるにゃ。
そして、ｆの２階偏微分は
　　

ｘとｙをすり替えれば・・・・。