第１２回 偏微分の合成公式１

第１２回　（偏）微分の合成公式１

微分の計算法なので、あまり細かいことをやってもしょうがない、と割り切るにゃ。

今回紹介する公式は、z=f(g(x,y))のタイプの偏微分の公式だにゃ。

 

定理

関数f(t)が区間Iで微分可能、関数g(x,y)が領域Dで偏微分可能かつ

　　

ならば、合成関数F(x,y)=f(g(x,y))はDで偏微分可能で

　　

である。

【証明（？）】

変数yを固定すると、g(x,y)はxのだけの一変数関数φ(x)と考えることができるだろう。

　―――xについての偏微分なのでyの値は変わらない―――

そうすると、

　　

でも、本当は

　　

だから、

　　

だ(^^ゞ

こんな公式が必要なのかと言われると、正直、疑問なんだけれど、本に書いてあったんで、書いたにゃ。

 

例１　次の偏導関数を求めるケロ。

こういうのがタイプ１だケロ。

公式をそのまま覚えるという阿呆な真似をしてはいけないにゃ。

　　

として、

　　

と考えれば十分だにゃ。

これに極限の記号をつけて

　　

で十分だにゃ。

で、

　　

　　

とやればいいんだケロ。

 

では、すこしだけ本格的な問題を。

問題１　f(u)をRで級とする。このとき

　　

について

　　

が成り立つことを示すケロ。

【解】

　　

とする。

　　

よって、

　　

もうひとつの方は、

　　

これから、

　　

になるケロ。

ということで、

　　

は、偏微分方程式、

　　

の解になっているんだにゃ。

第１２回　（偏）微分の合成公式１

微分の計算法なので、あまり細かいことをやってもしょうがない、と割り切るにゃ。

今回紹介する公式は、z=f(g(x,y))のタイプの偏微分の公式だにゃ。

 

定理

関数f(t)が区間Iで微分可能、関数g(x,y)が領域Dで偏微分可能かつ

　　

ならば、合成関数F(x,y)=f(g(x,y))はDで偏微分可能で

　　

である。

【証明（？）】

変数yを固定すると、g(x,y)はxのだけの一変数関数φ(x)と考えることができるだろう。

　―――xについての偏微分なのでyの値は変わらない―――

そうすると、

　　

でも、本当は

　　

だから、

　　

だ(^^ゞ

こんな公式が必要なのかと言われると、正直、疑問なんだけれど、本に書いてあったんで、書いたにゃ。

 

例１　次の偏導関数を求めるケロ。

こういうのがタイプ１だケロ。

公式をそのまま覚えるという阿呆な真似をしてはいけないにゃ。

　　

として、

　　

と考えれば十分だにゃ。

これに極限の記号をつけて

　　

で十分だにゃ。

で、

　　

　　

とやればいいんだケロ。

 

では、すこしだけ本格的な問題を。

問題１　f(u)をRで級とする。このとき

　　

について

　　

が成り立つことを示すケロ。

【解】

　　

とする。

　　

よって、

　　

もうひとつの方は、

　　

これから、

　　

になるケロ。

ということで、

　　

は、偏微分方程式、

　　

の解になっているんだにゃ。