第１１回 高階偏導関数

第１１回　高階偏導関数

１階の偏導関数やを、さらにxやyで偏微分した奴が２階偏導関数、さらにこれをxやyで偏微分した奴が３階偏導関数だにゃ。

やをそれぞれxとyで偏微分したやつだから、２階の偏導関数は2×2=4通りあることになる。同様に３階の偏導関数は、そして、n階の偏導関数は個あることになるにゃ。

ただ、記号に注意して欲しいんだケロ。

 　　

となるので注意して欲しいケロ。

そして、一般に

　　

は成立しないんだにゃ。

ちょっと面倒くさいので、z=f(x,y)とすると、

２階の偏微分には、あと

　　

というのもあるケロ。

偏微分に関しては、理論的な部分よりも計算だケロ。この計算ができないことには話にならないので。

問題　次の２階偏導関数を求めるケロ。

　　

【解】

xで偏微分するときは、yは定数と考える。

なので、

　　

これをさらにxで偏微分するのだから（この時もyを定数と考える）、

　　

yで偏微分するときは、反対にxを定数と考えるので、

　　

そして、これをもう一度yで偏微分すると、

　　

そして、①をyで偏微分すると（このときはxを定数と考える！！）

　　

対して、②をｘで偏微分すると、

　　

となる。

よって、この場合は、

　　

だケロ。

で、結果をまとめると、

　　

になるケロ。

そして、さり気なく定理をひとつ。

定理

関数f(x,y)が級ならば、

　　

が成り立つ。

【証明】

　　

という関数を考える。

一変数の平均値の定理をｘ成分について使えば、

　　

さらに平均値の定理をy成分に使えば、

　　

今度は、y成分、x成分の順に平均値の定理を使えば、

　　

よって、

　　

級だから、、も連続なので、(h,k)→(0,0)とすれば、

　　

となる。