第１８回 極値の判定法

第１８回　極値の判定法

級の２変数関数の判定法をやりますにゃ。

テーラーの定理より、(a,b)の近傍では

　　

となるにゃ。

極値では

　　

でなければならないので、

　　
になる。

で、

　　

とする。
そして、A≠0ならば

　　

となる。

このことから、

h、ｋの値にかかわらず

　　

になる。

hとｋが十分に小さければ、

　　

だろうから、

　　

になるであろうというワケ。

A=0のとき、これとは別な判定法を用いないといけない。

のとき、

　　

とすると、

　　
となり、F(1,0)とF(B,−A)は異符号となるから、hとｋによってF(h,k)は正負の値をとることになる。このことから、の時、極値にならない。

ということで、
　　

　　

としたとき、

　　（１）A>0、D>0ならば、極小

　　（２）A<0、D<0ならば、極大
　　（３）D>0ならば、極値でない
ということになる。

問題１　次の関数の極値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

だから、x=y=0が停留点になる。

で、これが極値であるかどうかの判定をするために２階偏微分を求めると、
　　

となる。

　　

となり、

　　

となり、f(0,0)=0は極小値。

（２）

　　

なので、x=y=0が停留点。

　　

よって、

　　
　　

となり、点(0,0)でf(x,y)は極値でない。

よって、極値は存在しない。

 

問題２　次の関数の極値を求めよ。

　　

【解】

　　

となる。
停留点は

　　
の連立方程式を解けば出てくるにゃ。
　　

このことから、(x,y) (0,0)、(1,1)が停留点になることがわかるケロ。
で、２階偏微分を求めると、

　　

となるので、

　　

となる。
(0,0)のときは、

　　

となり、極値でないことがわかるにゃ。

(1,1)のときは

　　

となり、f(x,y)はこの時に極小になることがわかる。

ということで、

　　

が極小値になるケロ。